Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Représentation graphique du complexe x + i y = r eiφ à l'aide d'un vecteur. Mis

Représentation graphique du complexe x + i y = r eiφ à l'aide d'un vecteur. Mise en évidence de l'interprétation graphique de son module r et d'un de ses arguments φ. Nombre complexe En mathématiques, l'ensemble des nombres complexes est créé comme extension de l'ensemble des nombres réels, contenant en particulier un nombre imaginaire noté i tel que i2 = −1. Le carré de (−i) est aussi égal à −1 : (−i)2 = −1. Tout nombre complexe peut s'écrire sous la forme a + i b où a et b sont des nombres réels. On peut munir l'ensemble des nombres complexes d'une addition et d'une multiplication qui en font un corps commutatif contenant le corps des nombres réels. Il est appelé corps des nombres complexes et se note ℂ. La notion de valeur absolue définie sur l'ensemble des nombres réels peut être étendue à l'ensemble des nombres complexes et prend alors le nom de module. Mais on ne peut pas munir l'ensemble des nombres complexes d'une relation d'ordre qui en ferait un corps totalement ordonné, c'est-à- dire qu'il n'est pas possible de comparer deux complexes en respectant les règles opératoires valables pour les nombres réels. Les nombres complexes furent introduits au xvie siècle par les mathématiciens italiens Jérôme Cardan, Raphaël Bombelli, Nicolo Fontana, dit Tartaglia, et Ludovico Ferrari afin d'exprimer les solutions des équations du troisième degré en toute généralité par les formules de Cardan, en utilisant notamment des nombres de carré négatif, ainsi que les solutions des équations du quatrième degré (méthode de Ferrari). Ce n'est qu'à partir du xixe siècle, sous l'impulsion de l'abbé Buée et de Jean-Robert Argand (plan d'Argand), puis avec les travaux de Gauss et de Cauchy, que se développe l'aspect géométrique des nombres complexes. On les associe à des vecteurs ou des points du plan. Les transformations du plan s'expriment alors sous forme de transformations complexes. En algèbre, le théorème de d'Alembert-Gauss énonce qu'un polynôme complexe non constant possède toujours au moins une racine complexe. Le corps des nombres complexes est dit algébriquement clos. On peut ainsi identifier le degré d'un polynôme complexe non nul au nombre de ses racines comptées avec leur ordre de multiplicité. En analyse, l'exponentielle complexe permet de simplifier l'étude des séries de Fourier, puis de définir la transformée de Fourier. La branche de l'analyse complexe concerne l'étude des fonctions dérivables au sens complexe, appelées fonctions holomorphes. En physique, les nombres complexes sont utilisés pour décrire le comportement d'oscillateurs électriques ou les phénomènes ondulatoires en électromagnétisme (Re(eiωt) représentant une sinusoïde). Dans le domaine de l'électricité et notamment de l'électrocinétique, on note souvent j l'unité imaginaire, la notation usuelle pouvant prêter à confusion avec le symbole d'une intensité électrique. Ils sont aussi essentiels dans la formulation mathématique de la mécanique quantique. a, b L'ensemble de Mandelbrot (en noir), illustration d'un système dynamique dans le plan complexe. Présentation Forme algébrique Forme polaire Forme géométrique Opérations et relations Addition Forme algébrique Interprétation géométrique Multiplication Forme algébrique Forme polaire Interprétation géométrique Conjugaison Module Relation d'ordre Racine Exponentiation et logarithme Structures Construction Couples de réels Matrice de similitude Classe d'équivalence de polynômes Développements en mathématiques Analyse complexe Dynamique holomorphe Équations différentielles dans le champ complexe Analyse de Fourier Nombres hypercomplexes En topologie Emplois en physique et ingénierie Représentation des phénomènes périodiques et analyse de Fourier Électromagnétisme Analyse de Fourier Mécanique des fluides dans le plan Fonction de structure Mécanique quantique Relativité restreinte Gravité et cosmologie quantique Historique Les complexes dans les œuvres de fiction Notes et références Notes Références Sommaire Voir aussi Bibliographie Articles connexes Liens externes Les nombres complexes, notés habituellement z, peuvent être présentés sous plusieurs formes, algébriques, polaires, ou géométriques. Un nombre complexe z se présente en général sous forme algébrique comme une somme a + ib, où a et b sont des nombres réels quelconques et où i (l’unité imaginaire) est un nombre particulier tel que i2 = –1. Le réel a est appelé partie réelle de z et se note Re(z) ou ℜ(z), le réel b est sa partie imaginaire et se note Im(z) ou ℑ(z). Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. Un nombre complexe z est dit imaginaire pur ou totalement imaginaire si sa partie réelle est nulle, dans ce cas il s'écrit sous la forme z =ib. Un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle est dit réel. Le nombre réel 0 est le seul qui soit à la fois réel et imaginaire pur. Bien sûr la plupart des nombres complexes ne sont ni réels ni imaginaires purs. Dans les textes anciens, de tels nombres, avant de s'appeler « complexes », s'appelaient « imaginaires », ce qui explique l'habitude persistante d'appeler « imaginaires purs » ceux ne comportant pas de partie réelle. Pour tout couple de réels (a , b) différent du couple (0,0), il existe un réel positif r et une famille d'angles θ déterminés à un multiple de 2π près tels que a = r cos(θ) et b = r sin(θ). Tout nombre complexe non nul peut donc s'écrire sous une forme trigonométrique : z = r (cos(θ) + i sin(θ)) avec r > 0. Le réel positif r est appelé le module du complexe z et est noté |z|. Le réel θ est appelé un argument du complexe z et est noté arg(z). On écrit parfois ce même complexe sous les formes suivantes : z = reiθ, forme exponentielle utilisant la formule d'Euler z = (r, θ) = r∠θ, forme polaire z = r (cosθ + i sinθ) = r cis(θ) (ce qui définit la notation cis ) Le module du complexe z est la racine carrée de la somme des carrés des parties réelles et imaginaires : Pour calculer un argument θ à partir de la forme algébrique a + ib, on peut utiliser les fonctions arccos, arcsin ou arctan : Présentation Forme algébrique Forme polaire 1 Représentation géométrique d'un nombre complexe. Par exemple, les réels strictement positifs ont un argument multiple de 2π, les réels strictement négatifs ont pour argument un multiple impair de π. Les imaginaires purs non nuls ont un argument congru à π/2 ou –π/2 modulo 2π, selon le signe de leur partie imaginaire. Dans un plan complexe muni d'un repère orthonormé , l'image d'un nombre complexe z = a + ib est le point M de coordonnées (a, b), son image vectorielle est le vecteur . Le nombre z est appelé affixe du point M ou du vecteur (affixe est féminin : une affixe). Le module |z| est alors la longueur du segment [OM]. Si z est différent de 0, son image est distincte de l'origine O du repère. Est argument de z n'importe quelle mesure θ en radians de l'angle , bien définie à un multiple de 2π près. Puisque tous les plans complexes sont canoniquement isomorphes, on parle du plan complexe sans préciser davantage. Dans l'ensemble des nombres complexes, on définit une addition de la manière suivante : Cette opération est associative, commutative, possède un élément neutre (le complexe nul) et tout complexe possède un opposé : opp(a + ib ) = –a +i (–b) L'ensemble des nombres complexes muni de l'addition forme donc un groupe commutatif. Si M et M' sont les points d'affixes z et z', l'image M" de la somme z + z' est définie par la relation Pour tout complexe z0, la transformation qui, au point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' = z + z0 est une translation de vecteur u d'affixe z0. Forme géométrique Opérations et relations Addition Forme algébrique Interprétation géométrique Multiplication Dans l'ensemble des nombres complexes, on définit une multiplication de la manière suivante : Cette opération est associative, commutative, distributive pour l'addition et possède un élément neutre 1. Puisque r × i = i × r, un complexe est noté indifféremment a + ib ou a + bi Ces propriétés permettent d'obtenir l'égalité suivante : Puisque la somme a2 + b2 de deux carrés de nombres réels est un nombre réel strictement positif (sauf si a = b = 0), il existe un inverse à tout nombre complexe non nul avec l'égalité : L'ensemble des nombres complexes munis de l'addition et de la multiplication est donc un corps commutatif. De plus, l'ensemble des nombres complexes muni de l'addition et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel sur ℝ de dimension 2 Cette écriture est adaptée au calcul du produit de deux nombres complexes du fait des formules d'addition : Ces identités, appliquées à la forme trigonométrique des nombres complexes, permettent d'énoncer les règles suivantes : le produit de deux nombres complexes non nuls a pour module le produit des modules et pour argument la somme des arguments ; le quotient de deux nombres complexes non nuls a pour module le quotient des modules et pour argument la différence des arguments. La forme exponentielle met en évidence ces propriétés La forme polaire est également bien adaptée pour calculer la uploads/s3/ nombre-complexe-wikipedia.pdf