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Ecole Nationale Polytechnique d’Alger Département d’Electrotechnique Compte ren

Ecole Nationale Polytechnique d’Alger Département d’Electrotechnique Compte rendu du 2ème TP SALC : Réponse temporelle des systèmes du 2ème ordre Responsable du module : Mr NEZLI Binôme : KIBBOU nazih. FENCHOUCH badreddine. But du TP 02 : Le but de ce TP est d’analysé un système asservis du second ordre modélisé par un circuit électronique RLC. Les caractéristiques de la réponse de ce système est calculé théoriquement puis comparé avec les résultats obtenue sous le logiciel Matlab tout en utilisant le type d’entrée v1 (échelon unitaire) aussi les caractéristiques de la sortie (R1 ,R2,R3). Pour le circuit de cette figure, on a et C=1 mF. La tension du générateur est nulle pour t˂0 et égale à V pour t≥0. En appliquant la transformée de LAPLACE on aura la fonction de transfert G(s) tel que : W0 : pulsation propre non amortie V1(t) : tension d’entrée (échelon unitaire) V2(t) : tension de sortie. Selon les valeurs attribuées au coefficient d’amortissement ξ (ξ= 1/2Q : Q étant le facteur de qualité du système), l’équation du deuxième ordre du dénominateur de la fonction de transfert (équation caractéristique du système) peut admettre : 1. Deux racines réelles si ξ > 1 (figure 04): régime apériodique et la solution est de la forme suivante : 2. Racines doubles si ξ = 1 (régime critique) : la solution est de la forme suivante : 3. Deux racines complexes conjuguées si 0 ˂ ξ ˂ 1 : régime pseudopériodique et la solution est de la forme suivante : 1-Cas d’amortissement fort (ξ>1) alors la réponse est amortie (elle ne dépasse pas l’échelon unitaire). 2-Cas d’amortissement critique (ξ=1) alors la réponse est amortie critique. 3-cas d’amortissement faible (ξ<1) alors la réponse est oscillante amortie 1- Traçage de la réponse de la tension de sortie et l’affichage de graphe obtenue: 1*pour R=10[Ω] W0=1/LC=10000 rad/S 2ξw0=1/RC=100 ξ = 0.5 rad^-1 Le script de matlab: num=[10000]; %il correspond a un polynôme numérateur de degré 0 P=1000 den=[1 100 10000]; %il correspond aux coefficients du polynôme dénominateur d'ordre 1 Q=s²+s*100+10000 tf(num,den)%cette commande va donner la fonction de transfert approprie step(10*num,den) %la fonction affiche graphiquement la réponse %de la fonction de transfert « num » / « den » à un échelon unitaire % pour cela on a multiplié le numérateur par 10 afin d'avoir %l'amplitude maximal: 10 grid on xlabel('temps(s)') ylabel('tension(v)') %titre abscisses et ordonnés suivie par leurs unités legend('la réponse de v2(t)') %titre de la réponse 1*Le temps de réponse a 5%: C’est le temps nécessaire pour que le système atteint 95% de sa valeur finale. t rexpérimental : t r=22.6∗10 −3=0.0226 [s] t ranalytique : le temps de réponse du système à 5%. (tr est égal a 6ξ/ω0 pour ξ >> 1 et à 3/ξω0 pour ξ ˂˂ 1). De la fonction de transfert on a w0= 1 √LC et ξ= Lw0 2R ξ= Lw0 2R =0.5<1 => régime pseudopériodique t r=3/ξω0 =0.02[s] L’erreur=¿t rexp−trth∨¿2.6∗10 −3[s] 2*Le temps de montée : c’est le temps que notre système met pour évoluer de 10% jusqu’à 90% de sa valeur finale. Theoriquement : la valeur approximative : t mt he=(π –arccos ⁡ (ξ)¿ /w0√1−ξ 2 =0.024183 [s] Expérimentalement : t mexp=0.0212-0.00487=0.01633[s] L’erreur=¿t mexp−tmthe∨¿7.854∗10 −3 [s ] 3* la pseudo-période : la valeur approximative : Analytiquemnt : T the= 2π w0√1−ξ 2 T the=¿0.0725 s Expérimentalement : T exp=0.0963−0.0243=0.072s On remarque que Tthe et Texp sont presque identiques. 4* le dépassement : la valeur approximative : Analytiquement : D %=100e −ξ π √1−ξ 2=16.3% Expérimentalement : C’est le pourcentage maximal que peut dépasser notre système à sa valeur stable M (%) =( (Vmax-10)/10)*100= ((11.6-10)/10)*100=16% Erreur=0.003 5* le décrément logarithmique : la valeur approximative : Analytiquement δ=ln( D1 D2)= 2πξ √1−ξ 2=3.62 Expérimentalement : C’est la mesure logarithmique de la décroissance périodique d’une grandeur pseudo-oscillatoire δ=ln( 10 10−9.74)=¿3.64 Erreur =0.02 Conclusion : Pour ξ<1 la reponse de système à une tension d’entrée égale à echelon unitaire est une reponse oscillatoire amorti psuedoperiodique tend vers la valeur 1, et quand ξtend vers 1 la reponse arrive àv(sortie)=1 rapidement ,et pour ξ tend vers 0 la reponse tend vers reponse purement sinusoidale (n’est pas stable) et n’arrive pas v(sortie)=1 mais oscille autor v=1volte,et ce système a beaucoup des caracteristiques (depassement,decrement,psuedoperiode,temps dereposne,montée) 2*pour R=4[Ω] W0=1/LC=10000 rad/S 2ξw0=1/RC=100 ξ = 0.5 rad^-1 Le script de matlab: num=[10000]; %il correspond a un polynôme numérateur de degré 0 P=1000 den=[1 250 10000]; %il correspond aux coefficients du polynôme dénominateur d'ordre 1 Q=s²+s*100+10000 tf(num,den)%cette commande va donner la fonction de transfert approprie step(10*num,den) %la fonction affiche graphiquement la réponse %de la fonction de transfert « num » / « den » à un échelon unitaire % pour cela on a multiplié le numérateur par 10 afin d'avoir %l'amplitude maximal: 10 grid on xlabel('temps(s)') ylabel('tension(v)') %titre abscisses et ordonnés suivie par leurs unités legend('la réponse de v2(t)') %titre de la réponse pour le cas R=4 Ω on a le régime critique dont on n a pas besoin de chercher décrément logarithmique et le dépassement et la période 1*Le temps de réponse a 5%: C’est le temps nécessaire pour que le système atteint 95% de sa valeur finale. t rexpérimental : t r=0.0656 [s ] t ranalytique : le temps de réponse du système à 5%. (tr est égal a 6ξ/ω0 pour ξ >> 1 et à 3/ξω0 pour ξ ˂˂ 1). De la fonction de transfert on a w0= 1 √LC et ξ= Lw0 2R ξ= Lw0 2R =¿ 1.25 >>1 => régime critique t r=6ξ/ω0 =0.075 [s] L’erreur=¿t rexp−t rth∨¿9.4∗10 −3[s] 2*Le temps de montée : c’est le temps que notre système met pour évoluer de 10% jusqu’à 90% de sa valeur finale. Theoriquement : la valeur approximative : On resoudre les 2 equation 0.9=v(t1) et v(t2)=0.1 (c’est un peu difficile de resoudre c’est pour ça on utilise des methode de l’analyse numerique ou remplacer une valeur de t et essayer d’obtenir 0.1 et 0.9) t mthe=0.0451 s Expérimentalement : t mexp=0.0517-0.00557=0.04613[s] L’erreur=¿t mexp−tmthe∨¿1.03∗10 −3 [s ] Conclusion : Pour ξ>1 le système ressemble à un système du premier ordre lorsqu’on s’éloigne de t = 0 et n’arrive pas à v2=1 juste une valeur approché à 1volt (ou Vmax) et augmentation de ξ donne une réponse de temps grand qui n’aide pas notre but (but temps de réponse faible et petit) 3*pour R=30[Ω] W0=1/LC=10000 rad/S 2ξw0=1/RC=33.33, ξ = 0.166 rad^-1 Le script de matlab: num=[10000]; %il correspond a un polynôme numérateur de degré 0 P=1000 den=[1 33.33 10000]; %il correspond aux coefficients du polynôme dénominateur d'ordre 1 Q=s²+s*33.33+10000 tf(num,den)%cette commande va donner la fonction de transfert approprie step(10*num,den) %la fonction affiche graphiquement la réponse %de la fonction de transfert « num » / « den » à un échelon unitaire % pour cela on a multiplié le numérateur par 10 afin d'avoir %l'amplitude maximal: 10 grid on xlabel('temps(s)') ylabel('tension(v)') %titre abscisses et ordonnés suivie par leurs unités legend('la réponse de v2(t)') %titre de la réponse 1*Le temps de réponse a 5%: C’est le temps nécessaire pour que le système atteint 95% de sa valeur finale. t rexpérimental : t r=17∗10 −3=0.017 [s ] t ranalytique : le temps de réponse du système à 5%. (tr est égal a 6ξ/ω0 pour ξ >> 1 et à 3/ξω0 pour ξ ˂˂ 1). De la fonction de transfert on a w0= 1 √LC et ξ= Lw0 2R ξ= Lw0 2R =0.166<1 => régime pseudopériodique t r=3/ξω0 =0.18[s] L’erreur=¿t rexp−t rth∨¿1.63∗10 −1[s] 2*Le temps de montée : c’est le temps que notre système met pour évoluer de 10% jusqu’à 90% de sa valeur finale. Theoriquement : la valeur approximative : t mthe=(π –arccos ⁡ (ξ)¿ /w0√1−ξ 2 =0.017620 [s] Expérimentalement : t mexp=0.0163-0.00446=0.01184[s] L’erreur=¿t mexp−tmthe∨¿5.78∗10 −3 [s ] 3* la pseudo-période : la valeur approximative : Analytiquemnt : T the= 2π w0√1−ξ 2 T the=¿0.0637 s Expérimentalement : T exp=0.0638[s] On remarque que Tthe et Texp sont presque identiques. 4* le dépassement : la valeur approximative : Analytiquement : D %=100e −ξ π √1−ξ 2=58.928%. Expérimentalement : C’est le pourcentage maximal que peut dépasser notre système à sa valeur stable M (%) ¿ ( (Vmax-10)/10)*100= ((15.8-10)/10)*100=58% Erreur ¿0.928% 5* le décrément logarithmique : la valeur approximative : Analytiquement δ=ln( D1 D2)= 2πξ √1−ξ 2= 1.06199 Expérimentalement : C’est la mesure logarithmique de la décroissance périodique d’une grandeur pseudo-oscillatoire δ=¿ ln( D1 D2)=ln( 15.8−10 12−10 )=1.0647 Erreur ¿ ¿δ th−δ exp∨¿2.792∗10 −4 Les 3 graphes dans le même repère R=4Ω R=30Ω R=10Ω Commentaires On remarque que le graphe rouge est plus stable que les autres et si on augmente R la perturbation augmente c.-à-d. le régime transitoire par contre si R est petit le système va travail comme le système de 1 er ordre. On va dire que le système de R1=4 est plus stable que le système ou R=10 ou R=30 .Conclusion générale : Les valeurs théoriques et les valeurs pratiques sont approximativement les mêmes. b-La valeur minimale de la résistance R : C’est le temps de réponse à 5% au moins égale à 4 π/100 uploads/s3/ compte-rendue-n2-de-tp-salc-2.pdf