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UNIVERSITE CADI AYYAD Année universitaire 2015-2016 FACULTE DES SCIENCES SEMLAL

UNIVERSITE CADI AYYAD Année universitaire 2015-2016 FACULTE DES SCIENCES SEMLALIA DEPARTEMENT DE PHYSIQUE MARRAKECH Contrôle de physique statistique Semestre S5 Durée 2h Préambule: Calculer le nombre d’états microscopiques accessibles d’un système isolé formé de N particules discernables avec la contrainte que la somme de leurs énergies soit égale à E unités d’énergie. Indication: Schématiser le problème en notant les particules par des cases et les unités d’énergie par des points. Exercice 1: On considère trois systèmes initialement isolés A1, A2 et A3. On note A le système total union des systèmes A1, A2 et A3. Partie I: A1 est formé de trois particules et a une énergie égale à sept unités d’énergie. A2 est formé de trois particules et a une énergie égale à six unités d’énergie. A3 est formé de quatre particules et a une énergie égale à cinq unités d’énergie. Chaque particule peut avoir 0, 1, 2,…..unités d’énergie. Les différentes particules sont supposées identiques et discernables. 1- Calculer les nombres d’états microscopiques Ω1, Ω2 et Ω3 respectivement des systèmes A1, A2 et A3. En déduire le nombre d’états microscopiques du système total A composé des trois systèmes séparés par des cloisons isolantes. 2- On retire les cloisons. Le système total A est toujours isolé. Calculer le nombre d’états microscopiques du système A dans cette nouvelle situation. Commenter. Partie II: A1 est formé de N1 particules et a une énergie égale à E1 (E1 unités d’énergie). A2 est formé de N2 particules et a une énergie égale à E2 (E2 unités d’énergie). A3 est formé de N3 particules et a une énergie égale à E3 (E3 unités d’énergie). Chaque particule peut avoir 0, 1, 2,…..unités d’énergie. Les différentes particules sont supposées identiques et discernables. A l’état initial les systèmes A1, A2 et A3 sont séparés par des cloisons isolantes et imperméables aux particules. On enlève les cloisons, le système total A formé de A1, A2 et A3 évolue spontanément vers un nouvel état d’équilibre. 1- Donner : a- les nombres d’états microscopiques Ω1, Ω2 et Ω3 respectivement des systèmes isolés A1, A2 et A3. b- le nombre d’états microscopiques du système total A dans son état initial composé des trois systèmes séparés par les cloisons isolantes. 2- Quelle serait la variation (positive, négative où nulle) de l’entropie du système entre l’état initial et final? Justifier votre réponse. 3- Calculer l’entropie microcanonique Sf du système A dans son état d’équilibre final. Donner son expression dans le cas où E>>1 et N>>1. 4- Calculer la température microcanonique T de A. 5- En déduire l’expression de E en fonction de N et T. 6- Etudier ses limites à basses et hautes températures. Tracer l’allure de N E en fonction de T. Exercice 2: Soit un système (A) formé de N particules identiques, indiscernables et sans interactions entre elles. Le système (A) est en équilibre thermique avec un thermostat à la température T. 1- Calculer dans la description semi-classique la fonction de partition Z du système (A). Ecrire le résultat sous la forme : b z a Z  Où z est la fonction de partition d’une particule du système (A) a et b sont des constantes à déterminer. 2- Définir l’énergie interne U du système (A). Etablir son expression en fonction de Z. 3- En déduire en fonction de Z: a- la capacité calorifique à volume constant Cv du système (A). b- l’entropie S du système (A). c- l’énergie libre F du système (A). Ecrire le résultat sous la forme :                     1 z ln F 1 0 Où 0 et 1 sont des constantes à déterminer. 4- Définir la variance de l’énergie interne. Etablir son expression en fonction de k, , et Cv. 5- On suppose le système (A) un gaz parfait monoatomique. Calculer : a- z la fonction de partition relative à une particule du système (A). b- l’énergie interne U du système (A) et sa dispersion. Conclure. c- la pression P du système en fonction de U et son volume V ainsi que sa dispersion. Conclure. Solution contrôle de physique statistique S5 (2015-2016) Préambule On a E unités d’énergie à distribuer sur N particules. On fait le schéma suivant : Chaque unité d’énergie est représenté par un point et les N particules par une rangée de N cases séparés par des cloisons représentées par des traits au nombre de N-1: 1- Le nombre totale de répartitions des E unités d’énergie est égale au nombre de permutations des 1 N E   éléments divisé par le nombre de permutations des E points entre eux et des 1 N  traits entre eux,       ! E ! 1 N ! 1 N E E      Exercice 1: Partie I : 1- Système Nombre de particules Nombre d’unités d’énergie Le nombre d’états microscopiques A1 3 7     36 ! 2 ! 7 ! 1 3 7 E1 1      A2 3 6     28 ! 2 ! 6 ! 1 3 6 E 2 2      A3 2 5     6 ! 1 ! 5 ! 1 2 5 E3 3      A 8 18       6048 6 x 28 x 36 E E E 3 3 2 2 1 1        2- Le nombre d’états microscopiques du système total est égal au nombre de façons de répartir l’énergie total E=E1+E2+E3=18(Dix-huit unités d’énergie) entre les N=N1+N2+N3=8 particules. On a         480700 ! 18 ! 7 ! 25 ! 18 ! 7 ! 1 8 18 ! E ! 1 N ! 1 N E E           . On remarque que   E  a beaucoup augmenté avec l’échange d’énergie entre les trois systèmes. . . .   . . .  E unités d’énergie N particules E points et N-1 traits E+N-1 éléments Partie II : 1- a-     ! E ! 1 N ! 1 N E 1 1 1 1 1      ;     ! E ! 1 N ! 1 N E 2 2 2 2 2      ;     ! E ! 1 N ! 1 N E 3 3 3 3 3      . 3 2 1 initial      2- On a i f S S  car initial final    . La variation de l’entropie i f S S S    est positive. L’évolution spontanée due à l’échange thermique entre les systèmes augmente l’entropie microcanonique conformément au second principe de la thermodynamique. 3-             N ln N E ln E N E ln N E k ! E ! 1 N ! 1 N E ln k N , E ln k Sf            4-                  E N E ln k E S T 1 N 5- 1 e N E e E N E E N E ln kT 1 kT 1 kT 1               . A basses températures, kT 1 Ne E   . A hautes températures, NkT E  . Exercice 2: 1-      (A) système phase de Espace N 3 N 3 2 3 1 3 N 3 2 3 1 3 E h p d ..... p d p d r .....d r d r d e ! N 1 Z i i           N particule phase de Espace 3 N 3 N 3 E 2 particule phase de Espace 3 2 3 2 3 E 1 particule phase de Espace 3 1 3 1 3 E h p d r d e .......... h p d r d e h p d r d e ! N 1 N 2 1 Or z h p d r d e .......... h p d r d e h p d r d e N particule phase de Espace 3 N 3 N 3 E 2 particule phase de Espace 3 2 3 2 3 E 1 particule phase de Espace 3 1 3 1 3 E N 2 1              Car les particules sont identiques. D’où N z ! N 1 Z  . On en déduit uploads/s3/ cont-stats5-2015-16.pdf