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PCSI_Brizeux Problème pour s'estraîner Modélisation d’une suspension de véhicul

PCSI_Brizeux Problème pour s'estraîner Modélisation d’une suspension de véhicule (CCP TSI 2013) Sur un véhicule, les suspensions ont de multiples fonctions. Elles servent notamment : • à améliorer le confort des occupants ; • à améliorer la tenue de route en maintenant le contact entre les roues et le sol malgré ses irrégularités (amélioration de la sécurité) ; • à diminuer l’effet, sur l’ensemble des organes mécaniques, des vibrations et impacts dus aux irrégularités de la route (diminution de l’usure et du risque de rupture). Il existe différents types de suspensions et, dans ce problème, nous nous intéresserons à un type très répandu : les suspen- sions à ressorts. De manière simplifiée, ces suspensions se composent d’un ressort qui assure la liaison entre les roues (masses non suspendues) et la caisse (masse suspendue) et d’un système d’amortissement. Le but de ce problème est d’étudier certaines caractéristiques des suspensions à ressort. En particulier, nous étudierons les mouvements verticaux du véhicule dans différentes situations : véhicule non amorti, véhicule amorti en régime libre, vé- hicule se déplaçant sur un sol non plat… Pour l’ensemble du problème, le référentiel d’étude est le référentiel terrestre considéré comme galiléen. Le véhicule est soumis au champ de pesanteur terrestre ⃗ g . Données : Champ de pesanteur : g = 10 m.s-2. Hypothèses : tout au long du problème, on considérera que : • l’extrémité supérieure du ressort est en contact avec le véhicule • l’extrémité inférieure du ressort est reliée à une roue qui se trouve à tout instant en contact avec le sol ; • les dimensions de la roue sont telles qu’on la suppose ponctuelle de sorte qu’elle suit parfaitement le profil de la route, y compris lorsque le sol n’est pas plat. Notations : dérivées temporelles : Pour une fonction x(t) les dérivées temporelles seront notées : ˙ x(t)=dx(t) dt et ¨ x(t)=d 2 x(t) dt 2 fonctions complexes : pour une fonction x(t)=X mcos(ωt+ϕ) . On notera x(t)=X m e j(ωt+ ϕ)= X me j ϕe jωt= X e j ωt , où x(t)=ℜ(x(t)) et X = X me j ϕ .( X représente l'amplitude complexe de x(t)) On a donc X m=∣X∣et ϕ=arg( X ) . Première partie : suspension sans amortissement Le véhicule à vide (masse suspendue) est assimilé à une masse m = 1,0.103 kg. La suspension est constituée , d'un ressort de masse négligeable de raideur k = 1,0.105 N.m-1 et de longueur au repos l0. Dans cette première partie on néglige tout amortissement. On ne s'intéresse qu'au mouvement de translation verticale du véhicule. La position du véhicule est repérée par sa coordonnée z(t), l'axe Oz étant vertical ascendant muni d'un vecteur unitaire ⃗ u z (figure 1). z(t) représente la coordon- née de l'extrémité supé- rieure du ressort. A l'équilibre, en l'absence de tout mouvement verti- cal, la position du véhicule est repérée par sa coordon- née ze. 1 1. Faire le bilan des forces auxquelles le véhicule est soumis lorsqu'il est hors d'équilibre. On détaillera clairement chaque force en indiquant sa direction, son sens et sa norme. Montrer que le véhicule constitue un système conservatif. 2. Exprimer l'énergie potentielle du véhicule, en déduire l'expression de sa cote ze à l'équilibre en fonction de m, g, k et l0. 3. Établir l'intégrale première de l’énergie. En déduire l'équation différentielle du mouvement vérifiée par z(t) sous la forme : ¨ z+ω0 2 z=β . Exprimer ω0 et β en fonction de ze, k, et m. 4. Donner la solution générale de l'équation différentielle du mouvement en prenant comme paramètre d'étude ω0 et ze. Calculer la pulsation propre ω0 et la période propre T 0 . 5. On suppose qu'un opérateur appuie sur le véhicule et l'amène dans une position repérée par la cote z0 où z0<ze. A un instant t=0, choisi comme origine du temps, le véhicule est lâché sans vitesse initiale. Déterminer z(t) en fonction de t, ze, ω0 et z0. 6. Exprimer z( T 0 4 ) , z( T 0 2 ) , z( 3T0 4 ) et z(T 0) . Tracer l'allure de z(t), faire apparaître sur le graphe les cotes minimales zmin, maximale zmax et moyenne zmoy ainsi que la période propre T 0 . Donner les expressions des cotes minimale zmin, maxi- male zmax et moyenne zmoy en fonction de ze et z0. 7. Établir l'expression temporelle de l'énergie cinétique. Exprimer EC( T 0 2 ) . Comparer E P( T 0 2 ) et E P(0) . Commenter. Deuxième partie: suspension avec amortissement On suppose que la suspension décrite dans la partie précédente comporte maintenant un dispositif qui exerce, sur le véhi- cule de masse m, une force d'amortissement visqueux donnée par ⃗ f =−h ⃗ v où ⃗ v représente la vitesse verticale du véhi- cule par rapport à la roue et h un coefficient appelé coefficient de frottement fluide (figure 2). 8. Quel est l'unité de h dans le système international ? 9. Faire le bilan des forces appliquées au véhicule hors d'équilibre. On détaillera clairement chaque force en indiquant sa direction, son sens et sa norme. Écrire la relation entre ces différentes forces lorsque le véhicule est l'équilibre. 10. En appliquant le théorème de la puissance cinétique au véhicule, établir l'équation différentielle vérifier par z(t). Dans cette équation apparaîtront les différentes grandeurs ze , k, m et h. 11. Écrire les conditions portant sur les paramètres m, k et h pour que la suspension se trouve respectivement dans les ré- gimes pseudopériodique, critique et apériodique. 12. Véhicule en charge 12.1. Si l'amortissement est tel que la suspension se trouve en régime critique lorsque le véhicule est à vide, dans quel régime se trouve-t-il lorsque le véhicule est en charge ? Justifier qualitativement la réponse. 12.2. Dès lors comment choisir la valeur de l'amortissement pour que le véhicule ne soit pas en régime pseudopé- riodique même lorsqu'il est en charge ? Justifier qualitativement la réponse. Le véhicule se déplace maintenant sur un sol non plat. La position du point bas de la suspension (roue) est repérée par la variable zs(t) (figure 3). Il est rappelé que, par hypothèse, la roue est considérée comme ponctuelle et reste à tout instant en contact avec le sol. 2 13. Dans cette question le véhicule se déplace sur une route telle-que : • t < t1 ; zs(t) = z1 où z1 est une constante positive et t1 >0 ; • t > t1 ; zs(t)=0. Pour illustrer la situation, on pourra imaginer qu'à l'instant t1 le véhicule descend d'un trottoir de hauteur z1 et rejoint une route plane et horizontale de cote nulle. On considère que pour t < t1, la cote z(t) du véhicule est constante c'est à dire que le véhicule se déplace en régime perma- nent. 13.1. Donner l'allure de z(t) pour t variant entre 0 et t >> t1 lorsque la suspension est en régime pseudopériodique. 13.2. Donner l'allure de z(t) pour t variant entre 0 et t >> t1 lorsque la suspension est en régime apériodique. On précisera clairement sur chaque graphique la valeur de z pour 0 < t < t1 et la valeur de z pour t tendant vers l'infini. Troisième partie: régime forcé Dans cette partie, le véhicule se déplace horizontalement avec une vitesse constante v1. Il est rappelé que, par hypothèse, la roue est considérée comme ponctuelle et reste à tout instant en contact avec le sol. Ici encore, la position du point bas de la suspension (roue) est repérée par la variable zs(t) (figure 4). dans cette partie, le véhicule se déplace sur un sol ondu- lé horizontal sinusoïdal. On a ainsi : z s(t)=zs0 cos(ωt) . La suspension comporte un système d'amortissement visqueux ; son action sur le véhicule est modélisée par la force ⃗ f =−h ⃗ v où ⃗ v représente la vitesse relative des deux extrémités de l'amortisseur et h le coefficient de frottement fluide. On a donc ⃗ f =−h( ˙ z−˙ z s)⃗ u z . 14. Déterminer l'expression de la force exercée par le ressort de la suspension sur la masse m en fonction de k, z, zs l0 et du vecteur unitaire ⃗ u z . 15. En appliquant la deuxième loi de Newton déterminer l'équation différentielle vérifiée par z(t) et zs(t) et leur dérivées temporelles ainsi que les paramètres h, m, k et ze ( où ze représente la longueur du ressort à l'équilibre statique calculée à la question 2) 3 Voulant étudier les oscillations de la masse m autour de sa position d’équilibre ze , on posera z'= z- z e . 16. Montrer que l’équation différentielle précédente peut se mettre sous la forme : m ¨ z '+h ˙ z '+k z '=Y (t) . Détermi- ner l’expression de Y(t) en fonction de z s , ˙ z s , k et h. Dans la suite de cette partie, on utilisera les notations complexes rappelées au début de l’énoncé. 17. Pour simplifier les notations, on posera : ω0 2= k uploads/s3/ meca-c4-probleme-pour-sentrainer-e-c-pdf.pdf