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Exercices du chapitre II avec corrig´ e succinct Exercice II.1 Ch2-Exercice1 Le

Exercices du chapitre II avec corrig´ e succinct Exercice II.1 Ch2-Exercice1 Les applications f1(x) = |x|, f2(x) = √x, f3(x) = 1 √ x2+1 sont-elles des applications de I R dans I R ? Solution : f1 : oui, f2 : non (f2 n’est d´ eﬁnie que sur I R+), f3 : oui. Exercice II.2 Ch2-Exercice2 Soit la fonction f : I R →I R, f : x 7→√x. Donner son domaine de d´ eﬁnition D. Puis consid´ erant f comme une application de D dans I R, donner l’image de cette application. Solution : D = I R+, Im f = I R+ (le d´ emontrer par double inclusion, sachant que si y ∈I R+ il peut s’´ ecrire y = p y2). Exercice II.3 Ch2-Exercice3 Soit f : I R+ →I R d´ eﬁnie par f(x) = √x. Cette application est-elle injective ? surjec- tive ? bijective ? Que faudrait-il modiﬁer pour qu’elle devienne bijective ? Solution : Elle est injective car √x1 = √x2 ⇒x1 = x2. Elle n’est pas surjective car Im f = I R+ et non pas I R, donc elle n’est pas bijective. Elle serait bijective si on prenait f : I R+ →I R+. Exercice II.4 Ch2-Exercice4 Montrer, en utilisant les r´ esultats du chapitre 1, que la n´ egation de l’implication ∀x ∈E, ∀x′ ∈E, {(f(x) = f(x′)) ⇒(x = x′)} est ∃x ∈E, ∃x′ ∈E, {(x ̸= x′) et (f(x) = f(x′))}. En d´ eduire qu’une application n’est pas injective si ∃x ∈E, ∃x′ ∈E, {(x ̸= x′) et (f(x) = f(x′))}. Solution : On sait que non (P ⇒Q) s’´ ecrit (P et (non Q), d’o` u non {∀x ∈E, ∀x′ ∈E, (f(x) = f(x′)) ⇒(x = x′)} ⇔{∃x ∈E, ∃x′ ∈E, (f(x) = f(x′)) et (x ̸= x′) Exercice II.5 Ch2-Exercice5 En utilisant les r´ esultats du chapitre 1, montrer que ((f(x) = f(x′)) ⇒(x = x′)) ⇔((x ̸= x′) ⇒(f(x) ̸= f(x′)) En d´ eduire qu’une application f : E →F est injective si et seulement si ∀x ∈E, ∀x′ ∈E, ((x ̸= x′) ⇒(f(x) ̸= f(x′))) . Solution : Il suﬃt d’appliquer : (P ⇒Q) ⇔{(non Q) ⇒(non P)}. Exercice II.6 Ch2-Exercice6 Soit E = I R\{−2} et soit f : E →I R, x 7→x+1 x+2. Trouver F =Imf. Montrer que f est bijective de E sur F. Mˆ eme question avec D = I R+ ∗. Solution : Apr` es calculs on montre que tout y ̸= 1 admet un unique ant´ ec´ edent qui s’´ ecrit x = 1 −2y y −1 d’o` u (y ∈Imf) ⇔(y ̸= 1) et donc Imf = I R\{1}. Lorsque le domaine de d´ eﬁnition de f est limit´ e ` a I R+ ∗, on a x > 0 ⇔1 −2y y −1 > 0 ⇔y ∈]1 2, 1[. Exercice II.7 Ch2-Exercice7 Soient E et F deux ensembles, et soit f une application de E dans F. Montrer que la composition idF ◦f est valide et que idF ◦f = f. Solution : idF ◦f : E →F →F et idF ◦f(x) = idF(f(x)) = f(x). Exercice II.8 Ch2-Exercice8 Soient les applications f : I R+ ∗→I R+ ∗et g : I R+ ∗→I R d´ eﬁnies par f(x) = 1 x et g(x) = x−1 x+1. Montrer que g ◦f = −g sur I R+ ∗. Solution : Tout d’abord, comme 0 et −1 sont exclus des domaines de d´ eﬁnition, ces deux applications sont eﬀectivement bien d´ eﬁnies. Il suﬃt ensuite de calculer g(f(x)). En eﬀet g(f(x) = 1 x −1 1 x + 1 = 1 −x 1 + x. Exercice II.9 Ch2-Exercice9 En vous souvenant de ln x et ex, donner les ensembles de d´ epart et d’arriv´ ee permet- tant de dire que l’une est l’application r´ e de l’autre. Solution : ln x : I R+ ∗→I R et ex : I R →I R+ ∗, do` u eln x : I R+ ∗→I R+ ∗et ln ex : I R →I R. Exercice II.10 Ch2-Exercice10 Soient E et F deux ensembles, et soit f de E dans F qui admet une application r´ eciproque f −1. Montrer, ` a partir de la d´ eﬁnition de f −1 que f −1 admet une application r´ eciproque et que (f −1)−1 = f. Solution : f −1 ◦f = idE et f ◦f −1 = idF caract´ erisent (par d´ eﬁnition) l’inverse de f −1 qui est donc f. Exercice II.11 Ch2-Exercice11 Vous avez montr´ e (dans un exercice pr´ ec´ edent) que f : I R\{−2} →I R\{1}, f : x 7→ x+1 x+2 est une bijection. D´ eterminer l’expression de f −1(y). Solution : On a d´ ej` a d´ emontr´ e que f −1(y) = 1 −2y y −1 en r´ esolvant l’´ equation y = f(x). Exercice II.12 Ch2-Exercice12 Soient les applications f : I R+ ∗→I R+ ∗et g : I R+ ∗→] −1, 1[ d´ eﬁnies par f(x) = 1 x et g(x) = x−1 x+1. Donner f −1, g−1 puis (g ◦f)−1. Comparer avec le r´ esultat de l’exercice II.8 Solution : f −1 : I R+ ∗→I R+ ∗et f −1(y) = 1 y, g−1 :] −1, 1[→I R+ ∗et g−1(y) = 1 + y 1 −y (r´ esoudre y = g(x)), d’o` u (g ◦f)−1(y) = (f −1 ◦g−1)(y) = 1 1+y 1−y = 1 −y 1 + y. Il a ´ et´ e montr´ e dans l’exercice 8 que (g ◦f)−1 = (−g)−1 et l’on a bien (−g)−1 = 1 −y 1 + y (r´ esoudre y = −g(x)). Exercice II.13 Ch2-Exercice13 Montrer que la loi ”soustraction” est une loi de composition interne dans Z Z. Montrer que la loi ”division” n’est pas une loi de composition interne dans Z Z\{0} mais que cette loi est une loi de composition interne dans Q\{0}. Solution : La soustraction de deux entiers relatifs est un entier relatif. Le quotient de deux entiers relatifs peut ne pas ˆ etre un entier relatif (2 3 ̸∈Z Z). Par contre le quotient de deux rationnels non nuls est un rationnel non nul, en eﬀet p q p′ q′ = pq′ qp′ les ´ el´ ements p, q, p′, q′ ´ etant tous des entiers non nuls. Exercice II.14 Ch2-Exercice14 Montrer que dans un groupe (E, ♦) l’´ el´ ement neutre est unique, de mˆ eme que l’´ el´ e- ment inverse d’un ´ el´ ement quelconque de E. Enﬁn, montrer que la“ r` egle de simpliﬁcation ” : si a♦c = b♦c, alors a = b, que vous connaissez bien pour l’addition dans Z Z, s’applique dans un groupe quelconque. Solution : S’il existe deux ´ el´ ements neutres e1 et e2, on a e1♦e2 = e1 et e1♦e2 = e2. Et si x a deux inverses x1 et x2, on a x1♦x♦x2 = (x1♦x)♦x2 = e♦x2 = x2 x1♦x♦x2 = x1♦(x♦x2) = x1♦e = x1 d’o` u x1 = x2. On appelle c1 l’inverse de c, alors a♦c = b♦c ⇒(a♦c)♦c1 = (b♦c)♦c1 ⇒a♦(c♦c1) = b♦(c♦c1) ⇒a♦e = b♦e ⇒a = b Quelles sont les propri´ et´ es que l’on a utilis´ ees ? Exercice II.15 Ch2-Exercice15 Montrer que les lois ”addition” et ”multiplication” ne sont pas des lois internes dans l’ensemble des nombres irrationnels. Solution : Par exemple √ 2 − √ 2 = 0 et √ 2 × √ 2 = 2, or 0 et 2 ne sont pas des irrationnels ! Exercice II.16 Ch2-Exercice16 Montrer que si x est irrationnel, p, q sont entiers, p ̸= 0 alors px q est irrationnel. Solution : On peut raisonner par l’absurde : on suppose que x est irrationnel, p, q sont entiers, p ̸= 0 , px q est rationnel. On a donc x est irrationnel, p, q sont entiers, p ̸= 0 , px q = p′ q′ . Ce qui implique que x est irrationnel, p, q sont entiers et x = p′q q′p, ce qui est absurde. Exercice II.17 Ch2-Exercice17 Montrer que la relation ” < ” n’est pas r´ eﬂexive ni sym´ etrique. Solution : Quels que soient les r´ eels x et y, les propri´ et´ es x < x et (x < y) ⇒(y < x) sont clairement fausses. Exercice II.18 Ch2-Exercice18 Montrer que : – i/ (a ≤b) ⇔(−b ≤−a), – ii/ {(a ≤b) et (c ≤d)} ⇒(a + c ≤b + d), – iii/ {(a ≤b) et (0 ≤c)} ⇒(ac ≤bc), – iv/ La propri´ et´ e suivante de I R est ´ equivalente ` a la propri´ et´ e d’Archim` ede : ∀a > 0, ∀A ∈I R; ∃n ∈I N tel que na > A. Solution : Toutes ces in´ egalit´ es se d´ emontrent ` a partir des propri´ et´ es ´ el´ ementaires de ”≤”. Ainsi {(a ≤b) et (c ≤d)} ⇒{(a + c ≤b + c)et (b + c ≤b + d)} ⇒(a + c ≤b + d). Appelons P la uploads/s3/ exercice-corrige 22 .pdf