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Exercices derni` ere impression le 12 août 2019 à 9:13 Probabilité conditionnel

Exercices derni` ere impression le 12 août 2019 à 9:13 Probabilité conditionnelle. Variable aléatoire Loi de probabilité Exercice 1 Dans une urne, il y a 3 boules vertes (V), 3 bleues (B) et 4 jaunes (J). On tire au hasard une boule et on note sa couleur. Y-a-t-il équiprobabilité lorsqu’on choisit comme univers : 1) {V ; R ; J}? 2) L’ensemble des 10 boules? Exercice 2 Un dé est déséquilibré. On estime que les probabilités d’apparition des faces 2, 3, 4, 5 sont égales; que celle de la face 6 est deux fois plus petite que chacune des précédentes; et la probabilité de la face 1 est 0,5. Donner la loi de probabilité déﬁnie sur l’ensemble des 6 faces. Exercice 3 Un dé est déséquilibré de sorte que la probabilité de sortie de chacune des faces est pro- portionnelle à son numéro. Donner la loi de probabilité déﬁnie sur l’ensemble des 6 faces. Probabilité d’un événement Exercice 4 A et B sont deux événements d’une même expérience aléatoire tels que : 1) p(A) = 0, 3, p(A ∪B) = 0, 7 et p(A ∩B) = 0, 2. Calculer p(B). 2) p(A) = 0, 44, p(B) = 0, 63 et p(A ∪B) = 0, 32. Calculer p(A ∩B). Exercice 5 Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher numérotés de 1 à 5. On tire deux boules au hasard, l’une après l’autre et sans remise. Ainsi, une issue est un couple (a ; b) où a est le premier numéro et b le second. On considère les événements suivants : • A : « a + b = 5 » • B : « |a −b| = 1 » 1) Combien y a-t-il d’issues? 2) Calculer les probabilités suivantes : a) p(A) b) p(B) c) p(A ∩B) d) p(A ∪B) 3) Calculer les probabilités suivantes : a) p(A) b) p(B) c) p(A ∩B) d) p(A ∪B) paul milan 1 premi` ere sp´ ecialit´ e exercices Exercice 6 Diagramme de Venn Trois revue scientiﬁques A, B et C sont mises à la disposition des élève d’un lycée. On sait que : • 52 % ont lu A, 43 % ont lu B et 37 % ont lu C; • 22 % ont lu A et B, 15 % ont lu A et C et 13 % ont lu B et C; • 8 % ont lu les trois revues. On interroge un élève au hasard. 1) Compléter le diagramme suivant : mettre un nombre à la place de "?" 2) Quelle est la probabilité : a) Que l’élève ait lu seulement une revue? b) Que l’élève n’ait lu aucune revue? A B C ? ? ? ? ? ? ? Exercice 7 Arbre de probabilité Dans son dressing, Paul a deux pantalons – un noir et un bleu – trois chemises – une bleue, une jaune et une noire – et deux vestes – une bleue et une marron. 1) A l’aide d’un arbre dénombrer l’ensemble de ses tenues possibles (un pantalon, une chemise et une veste). 2) On suppose que l’ensemble des tenues est muni d’une loi équirépartie. Calculer les probabilités des événements suivants : • A : « Il est habillé tout en bleu » • B : « Il a une chemise et une veste de couleur diﬀérente » • C : « Il ne porte ni pantalon noir, ni veste bleu » Exercice 8 Tableau double entrées Sur les 485 candidats au baccalauréat général d’un lycée, on sait que : • 370 ont été reçus dont 212 ﬁlles. • 40 garçons n’ont pas été reçus On appelle F : « le candidat est une ﬁlle »; G : « le candidat est un garçon »; R : « le candidat est reçu ». 1) Compléter le tableau suivant : F G Total R R Total 485 2) On rencontre par hasard un candidat, quelle est la probabilité que ce candidat soit : a) un garçon reçu? b) une ﬁlle non reçue? c) non reçu? 3) On rencontre par hasard un garçon candidat. Quelle est la probabilité qu’il soit reçu? 4) On rencontre au hasard un élève non reçu. Quelle est la probabilité que ce soit une ﬁlle? paul milan 2 premi` ere sp´ ecialit´ e exercices Exercice 9 Un relevé de caisse de magasin a fourni les renseignements suivants concernant les modes de paiement et les montants M des achats : • 80 % des achats sont payés par chèque; • 70 % des achats sont d’un montant inférieur à 200 euros, dont 20 % sont réglés en espèces; • 2 % des clients utilisent une carte de paiement qui ne permet pas de régler des achats inférieurs à 200 euros. 1) Recopier puis complétez le tableau ci-dessous. M ⩽200 M > 200 Total Espèces Chèques Carte Total 2) Calculer la probabilité des événements suivants : • A : « l’achat dépasse 200 euros »; • B : « l’achat dépasse 200 euros, payé en espèces »; • C : « l’achat dépasse 200 euros ou l’achat est réglé en espèces ». 3) Un achat est payé en espèces. Quelle est la probabilité qu’il dépasse 200 e? 4) Un achat est inférieur ou égal 200 e. Quelle est la probabilité qu’il soit payé en espèces? Exercice 10 ABCD est un tétraèdre régulier. Un scarabée se déplace sur les arêtes de ce tétraèdre, et uniquement sur les arêtes. Son déplacement obéit aux règles suivantes • le temps de parcours d’une arête est une minute; • à un sommet, il choisit au hasard l’une des trois arêtes; • le scarabée part du sommet A. Calculez les probabilités des événements suivants : 1) A : « le scarabée repasse en A au bout de trois minutes ». 2) B : « le scarabée ne passe pas par le sommet C pendant les trois premières minutes ». Exercice 11 Prendre toutes les initiatives Un urne contient deux boules blanches et quatre boules rouges, indiscernables au toucher. 1) On tire simultanément au hasard trois boules dans l’urne. Quelle est la probabilités des événements suivants : • A : « Le tirage ne contient aucune boule blanche ». • B : « Le tirage contient une boule blanche ». • C : « Le tirage contient deux boules blanches ». 2) a) On tire successivement trois boules avec remise. Déterminer la probabilité des évé- nements A, B et C déﬁnis à la question précédente. b) A-t-on p(A) + p(B) + p(C) = 1? Pourquoi? paul milan 3 premi` ere sp´ ecialit´ e exercices Exercice 12 Problème du chevalier de Méré Deux joueurs Albert et Bernard jouent à jeu quelconque en trois manches. Ils misent chacun 32 pistoles. Le premier qui totalisera trois manches gagnantes reçoit les 64 pistoles jouées. La première manche est gagnée par Albert. On doit s’arrêter là pour des raisons indépen- dantes de leur volonté. Comment répartir les 64 pistoles misées? Piste : Rendre les mises à chacun : ce ne serait pas juste : Albert a gagné une partie. On répartit alors les 64 pistoles selon l’espérance de gain des deux joueurs à ce moment du jeu. On pourra faire un arbre pour connaître la probabilité pour que Albert ait gagné si l’on avait poursuivi la partie. Probabilités conditionnelles Exercice 13 Deux ateliers A et B fabriquent des puces électroniques. Pour une commande de 2 000 pièces, A en a produit 60% et B en a produit 40%. L’atelier A produit 4% de puces défectueuses et B en produit 3%. On prend une puce au hasard dans la commande. On appelle A l’événement « la puce provient de l’atelier A », B l’événement « elle provient de l’atelier B » et D l’événement « elle est défectueuse ». 1) Compléter la tableau suivant qui décrit la composition de la commande : D D Total A B Total 2) Calculer les probabilités suivantes : a) p(D), p(A ∩D) et pD(A) b) p(D), p(D ∩B) et p ¯ D(B) c) Remplir l’arbre suivant : D ? A ? B ? D ? A ? B ? Exercice 14 À la suite d’un sondage eﬀectué à propos de la construction d’un barrage, on estime que : • 65% de la population concernée est contre la construction de ce barrage et parmi ces opposants, 70% sont des écologistes; • parmi les personnes non opposées à la construction, 20% sont des écologistes. On interroge une personne au hasard. 1) Écrire les probabilités correspondantes aux données puis construire un arbre pondéré. 2) Calculer la probabilité qu’une personne interrogée soit opposée au barrage et soit éco- logiste. 3) Calculer la probabilité qu’une personne interrogée ne soit pas opposée et soit écolo- giste. 4) En déduire la probabilité qu’une personne interrogée soit écologiste. paul milan 4 premi` ere sp´ ecialit´ e exercices Exercice 15 Le personnel d’un hôpital est réparti en trois catégories : M (médecins), S (soignants non médecins) et AT (personnel administratif ou technique). • 12% sont des médecins et 71% des soignants. • 67% uploads/s3/ 08-exos-proba-conditionnelle-variable-aleatoire.pdf