Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

© YC — EC2AV-Signaux août 02 – V2.61 1 / 5 Signaux électriques périodiques Sign

© YC — EC2AV-Signaux août 02 – V2.61 1 / 5 Signaux électriques périodiques Signaux électriques périodiques Signaux électriques périodiques Signaux électriques périodiques Signaux électriques périodiques « Un signal, c’est de l’énergie. Pour peu, on pourrait dire que cela pèse… » M. Devos, un cours d’électronique M. Devos, un cours d’électronique M. Devos, un cours d’électronique M. Devos, un cours d’électronique en 1986… en 1986… en 1986… en 1986… Résumé Résumé Résumé Résumé Une fois que l’on dispose de la description d’un réseau électrique et la manière de l’étudier, on lui applique des grandeurs électriques dénommées de manière générale signaux. Une classe particulière souvent rencontrée concerne les signaux périodiques. On définit alors la période, la valeur moyenne, la valeur efficace et le facteur de forme. Les signaux périodiques sont la superposition d’un signal permanent, la valeur moyenne, et d’une composante fluctuante de valeur moyenne nulle, la composante alternative. Parmi ces dernières, on définit les signaux sinusoïdaux dont les propriétés sont très utilisées en électrocinétique. Enfin, un signal périodique peut être défini comme la superposition d’ondes sinusoïdales de fréquences multiples de celle du signal de base. Ces descriptions sont résumées sous l’appellation « décomposition de Fourier d’un signal périodique ». Sommaire Sommaire Sommaire Sommaire I. I. I. I. Caractérisation des signaux électriques Caractérisation des signaux électriques Caractérisation des signaux électriques Caractérisation des signaux électriques ................................ ................................ ................................ ........................................................ ........................ ........................ ........................ 2 2 2 2 I.1. Signal périodique.....................................................................................................2 I.2. Valeur moyenne ......................................................................................................2 I.3. Valeur efficace.........................................................................................................2 I.4. Facteur de forme .....................................................................................................3 II. II. II. II. Signaux d’usage courant Signaux d’usage courant Signaux d’usage courant Signaux d’usage courant ................................ ................................ ................................ ................................................................ ................................ ................................ .............................................. .............. .............. .............. 3 3 3 3 II.1. Signal alternatif .......................................................................................................3 II.2. Signal sinusoïdal......................................................................................................3 III. III. III. III. Introduction à la décomposition en série de Fourier Introduction à la décomposition en série de Fourier Introduction à la décomposition en série de Fourier Introduction à la décomposition en série de Fourier ................................ ................................ ................................ ..................................... ..... ..... ..... 4 4 4 4 III.1. Définitions ...............................................................................................................4 III.2. Illustration de la décomposition en série de Fourier ..................................................5 III.3. Exemple ..................................................................................................................5 © YC — EC2AV-Signaux août 02 – V2.61 2 / 5 Signaux électriques périodiques I. Caractérisation des signaux électriques Les signaux électriques dépendent du temps. Ils sont représentés par une fonction de la variable réelle du temps (ex : la tension u = f(t)). La valeur du signal à l’instant t est appelée valeur instantanée ; elle est notée en lettres minuscules. Si la valeur instantanée est constante, le signal est dit continu ; il est noté en lettres majuscules. On emploi aussi les lettres majuscules dans le cas des grandeurs établies. I.1. Signal périodique Un signal s(t) est T-périodique si on peut trouver la plus petite valeur T appelée période telle que : ) + ( = ) ( nT t s t s avec n un entier naturel La période s’exprime en secondes (s). On définit la fréquence par f T = 1 exprimée en Hertz1 (Hz). I.2. Valeur moyenne La valeur moyenne d’un signal s(t) est notée indifféremment ) ( s t , Smoy , S0 ou S . Sur sa période, la valeur moyenne d’un signal T-périodique s(t) est défini par : ∫ +T t t dt t s T t 0 0 ) ( 1 = ) ( s Attention : il ne faut pas abuser de l’intégrale pour les signaux simples. Remarque : la valeur moyenne est algébrique. Elle est comprise entre ses extrema. Considérations pratiques Une valeur moyenne est mesurée avec un appareil magnétoélectrique (symbole ) s’il est analogique (ces appareils tendent à disparaître) ou numérique en position continue (symbole =). I.3. Valeur efficace La valeur efficace d’un signal s(t) est souvent notée par Seff ou en lettre majuscule. Sur une période, la valeur efficace d’un signal T-périodique s(t) est définie par : ∫ +T t t dt t s T t eff S 0 0 ) ( 1 = ) ( s = 2 2 2 Remarques : • la valeur efficace est toujours positive. Si elle est nulle, la fonction est identiquement nulle (propriété des fonctions positives) ; • la valeur efficace est exprimée par un carré ; elle est donc liée à la puissance p(t) (ex : résistance, pR(t) = R.i2(t) donc w(t) = R.Ieff2). Considérations pratiques Une valeur efficace est mesurée avec un appareil : • ferromagnétique (symbole ), c’est un type analogique qui tend à disparaître ; • magnétoélectrique à redresseur magnétoélectrique à redresseur magnétoélectrique à redresseur magnétoélectrique à redresseur (symbole ), qui tend aussi à disparaître ; • à thermocou thermocou thermocou thermocouple ple ple ple (symbole ), complètement abandonné ; • ou numérique en position RMS (Root mean square, ) ( s2 t ). 1Hertz (Heinrich), physicien allemand (1857-1894). © YC — EC2AV-Signaux août 02 – V2.61 3 / 5 Signaux électriques périodiques I.4. Facteur de forme Pour quantifier la valeur efficace par rapport à la valeur moyenne, on définit le facteur de forme d’un signal s(t) par : ) ( s ) ( s2 0 t t S S F eff = = Remarque : F est sans unité. Cette grandeur est parfois utile dans les redresseurs pour quantifier les deux grandeurs produites. II. Signaux d’usage courant II.1. Signal alternatif Un signal alternatif est un signal périodique de valeur moyenne nulle. Propriété un signal périodique (s(t)) quelconque est superposition d’un signal alternatif (s∼(t)) et d’un signal constant appelé composante continue égale à sa valeur moyenne ( ) ( s t ) : ) ( s ) ( ) ( t t s t s + = ∼ Les oscilloscopes exploitent cette particularité grâce au commutateur AC-DC : • en position DC (During Current), tout le signal est observé ; • en AC (alternative Current), seule la composante variable est observée ; II.2. Signal sinusoïdal Expression temporelle Un signal sinusoïdal s(t) s’exprime de la manière suivante : s t S t S t ( ) $ cos( ) $ = + +        ω ϕ ω ω π π ω ϕ ϕ est l'amplitude du signal. est la pulsation (rad.s ), = 2 f = 2 T . est la phase instantanée. est la phase initiale (à t = 0). -1 Valeur efficace La valeur efficace du signal s(t) est telle que : ∫ ∫ = + = π θ θ π ϕ ω 2 0 2 2 0 2 2 2 ) ( sin ˆ 2 1 ) ( sin ˆ 1 d S dt t S T S T eff , c’est-à-dire : S S eff = $ 2 Remarque : pour un tel signal, le rapport de la valeur maximale sur la valeur efficace est constant. On utilise toujours ce résultat pour décrire un signal sinusoïdal. © YC — EC2AV-Signaux août 02 – V2.61 4 / 5 Signaux électriques périodiques III. Introduction à la décomposition en série de Fourier2 III.1. Définitions Un résultat mathématique nous indique qu’un signal T-périodique s(t) (continu et dérivable sauf en un nombre fini de points) peut être écrit sous la forme d’une somme infinie de fonctions sinusoïdales temporelles. Ceci s’exprime sous la forme :      + + = ∑ ∞ = . rang de signal du phase la est naturel). (entier rang de Fourier de t coefficien le est ). ( de moyenne valeur la est ) ( où ) cos( ) ( ) ( 1 n n S t s t s t n S t s t s n n n n n ϕ ϕ ω On appelle harmonique de rang n (ou n-harmonique), le signal sinusoïdal de rang n. Les coefficients de Fourier Sn représentent l’amplitude des harmoniques successifs. L’harmonique de rang 1 (premier harmonique) est appelé le fondamental. Le signal s(t) peut être écrit comme combinaison linéaire de fonctions Sinus et Cosinus : ∑ ∑ ∞ = ∞ = + + = 1 1 ) sin( ) cos( ) ( ) ( n n n n t n b t n a t s t s ω ω On a alors : ) arctan( 2 2 n n n n n n a b et b a S = + = ϕ Cette forme permet de justifier plus aisément les propriétés suivantes : • si la fonction s(t) est paire, les coefficients bn sont tous nuls (aucun terme impair n’apparaît). • si la fonction s(t) est impaire, les coefficients an sont tous nuls (aucun terme pair n’apparaît). Les coefficients an et bn s’expriment par : ∫ ∫ + + = = T t t n T t t n dt t n t s T b dt t n t s T a 0 0 0 0 ) sin( ) ( 2 ) cos( ) ( 2 ω ω Le graphe représentant les coefficients de Fourier en fonction de leur rang est appelé spectre en fréquence du signal s(t). On définit deux graphes : un pour les an, un autre pour les bn. On peut uploads/s3/ signaux-electriques-periodiques.pdf