TD Intégrales multiples Exercice 1 Soient ω la forme différentielle définie sur R

TD Intégrales multiples Exercice 1 Soient ω la forme différentielle définie sur R2 par ω(x, y) = y2dx + xdy et Γ la courbe définie par le triangleABC, parcouru une fois dans le sens direct, où A(0, 0), B(3, 0) et C(3, 6). Calculer l’intégrale curviligne ´ (C) ω. correction exercice 1 Exercice 2 Soient (C) la courbe définie par  (x, y) ∈R2, 4x2 + 9y2 = 36 , x ⩾0 , y ⩾0 , parcourue une fois dans le sens direct et ω : (x, y) 7→xy2 dx + x2y dy. Calculer ˆ (C) ω . correction exercice 2 Exercice 3 Soient R un réel strictement positif et (C) le cercle de centre O et de rayon R. i) Donner un paramétrage de (C) . ii) Calculer ds si s représente l’abscisse curviligne sur la courbe. iii) Calculer ˆ (C) ds et retrouver un résultat bien connu. correction exercice 3 Exercice 4 Calculer ¨ D f dans les cas suivants : i) D = [0; 1] × [1; 3] et f : (x, y) 7→x + y ii) D = {(x, y) ∈R2, y ⩽−x2 + 2x + 3 ; y ⩾2x2 −4x + 3} et f : (x, y) 7→x correction exercice 4 Exercice 5 Soit D le domaine du plan déterminé par D =  (x, y) ∈R2, 0 ⩽x ⩽π, y ⩾0, y ⩽sin x . Déterminer les coordonnées du centre de gravité G de D (i.e. du centre d’inertie de la plaque homogène D de densité surfacique 1). correction exercice 5 Exercice 6 Déterminer le centre de gravité de la plaque (S, σ) de densité surfacique constante où S est la surface limitée par les courbes d’équation y = x2 et y = −2x2 + 6x correction exercice 6 Exercice 7 Déterminer le centre d’inertie du solide homogène (V, σ) où V est le volume défini par V = n (ρ, θ, ϕ) ∈R3; ρ ∈[0; R] , θ ∈ h −π 4 ; π 4 i , ϕ ∈ h −π 2 ; π 2 io correction exercice 7 Exercice 8 Calculer la matrice d’inertie par rapport à O du pavé homogène S de côtés a, b et c et de den- sité volumique σ dont l’origine O est un sommet et situé dans le huitième d’espace positif. Retrouver ensuite l’expression de la matrice d’inertie du pavé par rapport à son centre d’inertie G. correction exercice 8 Exercice 9 Calculer la matrice d’inertie de la boule homogène (B, σ) de centre O et de rayon R. Il est recommandé de calculer IOx + IOy + IOz ou, avec les notations du cours de mécanique, A + B + C. On fera apparaître la masse m dans le résultat pour retrouver une valeur connue. correction exercice 9 Exercice 10 Soit (S, σ) la plaque de densité surfacique σ constante et dont la surface S est définie par S =  (x, y, z) ∈R3, x2 + y2 ⩽1 et z = 1 2(x2 + y2)  Calculer l’aire de S ainsi que ses moments d’inertie par rapport aux trois plans (xOy), (xOz) et (yOz), aux trois axes (xx′), (yy′) et (zz′) et par rapport à l’origine O. correction exercice 10 Corrigé exercice 1 ∂ ∂y (x) = 0 et ∂ ∂x(y2) = 0 La forme ω est donc fermée et donc exacte sur R2 qui est étoilé. On peut directement en déduire que l’intégrale est nulle puisque la forme est exacte et que la courbe est un lacet. (Il n’est utile ni de calculer une primitive de ω, ni de paramétrer Γ ∂ ∂y (y2) = 2y et ∂ ∂x(x) = 1 La forme ω n’est donc pas fermée et donc pas exacte sur R2. Une paramétrisation de [AB] est t 7→  x(t) = t y(t) = 0 , t ∈[0; 3] avec  dx(t) = dt dy(t) = 0 Une paramétrisation de [BC] est t 7→  x(t) = 3 y(t) = t , t ∈[0; 6] avec  dx(t) = 0 dy(t) = dt Une paramétrisation de [CA] est t 7→  x(t) = t y(t) = 2t , t ∈[3; 0] avec  dx(t) = dt dy(t) = 2dt ˆ (C) ω = ˆ [AB] ω + ˆ [BC] ω + ˆ [CA] ω = ˆ 3 0 0dt + ˆ 6 0 3dt + ˆ 0 3 (2t)2dt + t · 2dt  = 3 × (6 −0) + ˆ 0 3 4t2 + 2t  dt = 18 + 4 3t3 + t2 0 3 = 18 −4 3 · 33 −32 = 18 −36 −9 = −27 Corrigé exercice 3 i) Un paramétrage de ce cercle est :  x(t) = R cos t y(t) = R sin t t ∈[0; 2π] ii) L’abscisse curviligne est : ds = p x′2(t) + y′2(t) dt = q (−R sin t)2 + (R cos t)2 dt = q R2 sin2(t) + R2 cos2(t) dt = q R2 sin2(t) + cos2(t)  dt = √ R2 = R iii) ˆ (C) ds = ˆ 2π 0 R dt = 2πR On retrouve, par ce calcul, la valeur du périmètre du cercle C. Corrigé exercice 4 i) ¨ D f = ˆ 1 0 ˆ 3 1 (x + y) dy  dx = ˆ 1 0  xy + 1 2y2 y=3 y=1 dx = ˆ 1 0  3x + 9 2 −x −1 2  dx = ˆ 1 0 (2x + 4) dx =  x2 + 4x 1 0 = 1 + 4 = 5 ii) -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x 1 2 3 4 5 6 7 8 y y=2x2-4x+3 y=-x 2+2x+3 (∀x ∈R) , 2x2 −4x + 3 = −x2 + 2x + 3 ⇐ ⇒ 3x2 −6x = 0 ⇐ ⇒ 3x(x −2) = 0 ⇐ ⇒ (x = 0 ou x = 2) On en déduit que D =  (x, y) ∈R2, 0 ⩽x ⩽2 , 2x2 −4x + 3 ⩽y ⩽−x2 + 2x + 3 ¨ D f = ˆ 2 0 ˆ −x2+2x+3 2x2−4x+3 x dy ! dx = ˆ 2 0 [xy]y=−x2+2x+3 y=2x2−4x+3 dx = ˆ 2 0 (−x3 + 2x2 + 3x) −(2x3 −4x2 + 3x)  dx = ˆ 2 0 −3x3 + 6x2 dx = −3 4 x4 + 2x3 2 0 = −3 4 × 24 −2 × 23 = −28 Corrigé exercice 6 x2 = −2x2 + 6x ssi 3x2 −6x = 0 ssi 3x(x −2) = 0 ssi (x = 0 ou x = 2) A(S) = ¨ S dxdy = ˆ 2 0 ˆ −2x2+6x x2 dy ! dx = ˆ 2 0 −3x2 + 6x  dx =  −x3 + 3x22 0 = 4 La masse de la plaque est donc égale à 4σ xG = 1 4σ ¨ S xσ dxdy = 1 4 ˆ 2 0 ˆ −2x2+6x x2 x dy ! dx = 1 4 ˆ 2 0 −3x3 + 6x2 dx = 1 4  −3 4x4 + 2x3 2 0 = 1 yG = 1 4σ ¨ S yσdxdy = 1 4 ˆ 2 0 ˆ −2x2+6x x2 y dy ! dx = 1 4 ˆ 2 0 y2 2 −2x2+6x x2 dx = 1 8 ˆ 2 0 (−2x2 + 6x)2 −(x2)2 dx = 1 8 ˆ 2 0 3x4 −24x3 + 36x2 dx = 1 8 3 5x5 −6x4 + 12x3 2 0 = 12 5 Le centre d’inertie de la plaque est donc le point G  1; 12 5  Corrigé exercice 8 A = I(Ox) = ˚ S σ(y2 + z2)dV = ˆ a 0 ˆ b 0 ˆ c 0 σ(y2 + z2) dzdydx = ˆ a 0 ˆ b 0 σ  y2z + 1 3z3 z=c z=0 dydx = ˆ a 0 ˆ b 0 σ(y2c + 1 3c3) dydx = ˆ a 0 σ 1 3y3c + 1 3c3y y=b y=0 dx = ˆ a 0 σ(1 3b3c + 1 3c3b)dx = σ ab3c + abc3 3 = σabcb2 + c2 3 = mb2 + c2 3 Pour des raisons évidentes de symétrie, on trouve B = I(Oy) = ma2 + c2 3 et C = I(Oz) = ma2 + b2 3 D = ˚ S σyz dV = ˆ a 0 ˆ b 0 ˆ c 0 σyz dzdydx = ˆ a 0 ˆ b 0 σ 1 2yz2 z=c z=0 dydx = ˆ a 0 ˆ b 0 σ(1 2yc2) dydx = ˆ a 0 σ 1 4y2c2 y=b y=0 dx = ˆ a 0 σ 1 4b2c2dx = σ ab2c2 4 = σabcbc 4 = mbc 4 Pour des raisons évidentes de symétrie, on trouve E = mac 4 et F = mab 4 . Ainsi : I(O, S) = m    b2+c2 3 −ab 4 −ac 4 −ab 4 a2+c2 3 −bc 4 −ac 4 −bc 4 a2+b2 3    Les coordonnées uploads/s3/ td-inte-uegrales-multiples-corrige-ue 1 .pdf

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