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Travaux Dirigés de Physique Mécanique Partie 1/3 PEIP 1 / PEIP C 1 Cinématique

Travaux Dirigés de Physique Mécanique Partie 1/3 PEIP 1 / PEIP C 1 Cinématique 1.1 Coordonnées polaires Exercice 1.1–1: Un point mobile M se déplace sur un cercle de centre O et de rayon R avec une vitesse qui croît de manière linéaire avec le temps. C’est à dire ∥⃗ v∥= kt où k est une constante positive. 1. Donner l’expression du vecteur − − → OM dans la base des coordonnées polaires. 2. Exprimer, en coordonnées polaires, les composantes de la vitesse et de l’accélération du point M. On note M0 la position du point M à t = 0. On choisira l’axe Ox tel que M0 soit situé sur cet axe. 3. Déterminer les coordonnées de ces mêmes vecteurs en coordonnées cartésiennes. 4. Déterminer la distance parcourue par le point M à l’instant t. Exercice 1.1–2: On considère la courbe déﬁni par l’équation en coordonnées polaires : ρ(θ) = r0(1 + cos θ) où r0 est une constante positive. Un point matériel M décrit cette courbe avec θ = ωt (ω = constante). On prendra θ ∈[0, 2π[. 1. Après avoir étudié les symétries de la fonction, tracer la courbe. 2. Calculer les composantes du vecteur vitesse en coordonnées polaires. Tracer ce vecteur aux points θ = 0, π 2, π, 3π 2 3. Montrer que ∥⃗ v∥= ω√2ρr0 4. Calculer l’accélération ⃗ a et représenter ce vecteur aux points θ = 0, π 2, π, 3π 2 1.2 Coordonnées intrinsèques Exercice 1.2–1: Dans un repère orthonormé Oxy, les coordonnées d’une particule sont données en fonction du temps t par : x(t) = ct y(t) = bt(t −τ) avec c = 2 S.I., b = 4 S.I. et τ = 1 S.I. 1. Donner les dimensions de c et b. 2. Déterminer l’équation de la trajectoire en coordonnées cartésiennes ; la tracer. 3. Ecrire l’élément inﬁnitésimal d’abscisse curviligne ds en fonction de t et dt. Donner ensuite sous forme intégrale la distance parcourue entre l’instant t = 0 et l’instant t = 2 s. 4. Calculer les composantes du vecteur vitesse à la date t. Le tracer pour t = 0 et t = 0.5 s. 5. Montrer que la particule possède une accélération constante dont on calculera les composantes tangentielle aT et normale aN. En déduire le rayon de courbure à la date t = 0.5 s. Exercice 1.2–2: Une particule se déplace dans un plan. Son accélération est donnée au cours du temps par l’expression ⃗ a = α− → u t + βt4⃗ un où ⃗ ut et ⃗ un sont des vecteurs unitaires du repère intrinsèque lié à la trajectoire orienté. α et β sont des constantes positives.On suppose qu’à l’instant t = 0 la particule est au repos à l’origine des coordonnées. 1. Donner les dimensions de α et β. 2. Calculer l’abscisse curviligne s(t) en fonction du temps. 3. Déterminer le rayon de courbure R(s) de la trajectoire en fonction de s. Vériﬁer l’homogénéité de la relation. 4. En déduire l’allure de la trajectoire. 5. Calculer la norme de l’accélération de ⃗ a. Vériﬁer l’homogénéité du résultat. 1.3 Coordonnées cylindriques Exercice 1.3–1: On considère l’hélice d’équation en coordonnées cartésiennes :    x(t) = R cos θ y(t) = R sin θ z(t) = hθ Elle est parcourue par un point animé d’un mouvement uniforme (∥⃗ v∥= cst). R et h sont des constantes positives. 1. Calculer les vecteurs ⃗ v et ⃗ a en coordonnées cylindriques, puis en coordonnées intrinsèques. 2. Montrer que ⃗ v fait un angle constant avec le plan Oxy, et que ⃗ a est toujours dirigé vers l’axe Oz. 3. Calculer le rayon de courbure. 4. Calculer la distance parcouru par le point M lorsqu’il fait un tour de l’hélice. 2 Dynamique 2.1 Principe fondamentale de la dynamique Exercice 2.1–1: Les aﬃrmations suivantes sont-elles vrai ou fausse ? 1. Un corps ne peut se déplacer sans qu’une force agisse sur lui. 2. Toute variation de vitesse d’un corps exige l’action d’une force. 3. Si l’énergie cinétique d’un corps est constante, aucune force ne s’applique sur lui. 4. Si la force exercée sur un corps devient et reste nul, le corp s’arrête. Exercice 2.1–2: Le pendule simple Un pendule simple est constitué d’un ﬁl inextensible de longueur l constante, de masse négligeable, dont une des extrémités est ﬁxé en O à un support ﬁxe et dont l’autre extrémité est liée à une bille de masse m considérée comme ponctuelle. Soit Oz l’axe vertical descendant passant par O, de vecteur unitaire ⃗ k. Le référentiel d’étude est supposé galiléen. 1. Déterminer la position d’équilibre M0 de la bille. Donner l’expression correspondante de la norme de la tension du ﬁl, que l’on notera N0. 2. On écarte la bille de sa position d’équilibre d’un angle θ0. A l’instant t0, pris comme origine des temps, on lâche la bille. On admet que la bille reste dans le plan déﬁni par OzOM(t0). On repère la bille grâce aux coordonnées polaires. On notera ⃗ ul et ⃗ uθ les vecteurs unitaires de cette base. (a) Faire le bilan des forces appliquées à la bille à l’instant t. (b) Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la bille et obtenir les composantes radiale et orthoradiale de l’accélération de la bille. (c) Obtenir l’équation diﬀérentielle qui régit le mouvement du pendule. On se placera dans l’approximation des petits angles. En déduire la pulsation ω et la période T des oscillations. (d) Exprimer la tension N du ﬁl lorsque θ = 0 en fonction de ˙ θ. Montrer que N est maximale en ce point. Exercice 2.1–3: Charge dans un champ magnétique Dans un référentiel galiléen muni d’un repère (O,⃗ ı,⃗ ,⃗ k), on considère le mouvement d’une particule chargé de charge q (q > 0) dans un champ magnétique uniforme ( ⃗ B = B⃗ k). Au temps t = 0, la particule se trouve à l’origine et possède une vitesse initiale ⃗ v0 contenue dans le plan Oxz et faisant un angle α avec ⃗ k. On néglige la pesanteur et on pose ω = qB m (fréquence cyclotron). On donne la force de Lorentz : ⃗ F = q⃗ v ∧⃗ B 1. Ecrire l’équation diﬀérentielle à laquelle obéit le mouvement de la particule. 2. Déterminer les équations paramétriques de la trajectoire en coordonnées cartésiennes : x(t), y(t) et z(t). 3. En déduire la nature du mouvement de la particule dans le plan Oxy et sur l’axe Oz. 4. On se place dans le cas où α = π/2. Que devient le mouvement de la particule ? Pourrait-on sélectionner des particules de vitesse donné ? 5. La particule se déplaçant dans le plan Oxy est soumise à un champ électrique ⃗ E = E0 ⃗ ı en plus du champ magnétique. Résoudre les équations du mouvement. Exercice 2.1–4: Partiel de 2010 Dans la salle de TP, que l’on considère comme un référentiel galiléen, une bille de masse m décrit une trajectoire circulaire et uniforme de centre O et de rayon R dans le plan horizontal Oxy. La vitesse angulaire de la bille est ω. La bille, que l’on supposera ponctuelle, est attaché a un ﬁl dont l’autre extrémité est attaché en un point C à la verticale et au dessus de O. On repère la position M de la bille par ses coordonnées polaires (ρ, θ) dans le plan Oxy. 1. Sur un schéma du plan Oxy, placer le point M à un instant quelconque, ρ, θ et les vecteurs ⃗ uρ et ⃗ uθ. 2. Donner l’expression de − − → OM en polaire. 3. Donner l’expression de la vitesse ⃗ v en polaire. 4. Donner l’expression de l’accélération ⃗ a en polaire. 5. Faire le bilan des forces qui s’appliquent sur la bille. On le représentera sur un schéma. 6. On note T la tension du ﬁl et α l’angle que fait le ﬁl avec la verticale. Exprimer les composantes de ces forces dans la base (⃗ uρ, ⃗ uθ,⃗ k). Avec ⃗ k vecteur unitaire colinéaire à − → OC et de même sens. On exprimera ces composantes en fonction de T, α, m et de l’accélération de pesanteur g. 7. En applicant le principe fondamental de la dynamique, en déduire tan α en fonction de R, ω et g. 8. Le ﬁl peut-il être horizontal ? 9. Application numérique : ω = 2 rad/s, g = 10 m/s2, R = 50 cm. Calculer tan α. 2.2 Frottements Exercice 2.2–1: Traineau sur une pente On pose un traineau sur une pente enneigé d’angle β. Dans cet exercice les forces de frottements sont supposées suﬃsantes pour maintenir le traineau immobile. La réaction du sol peut alors se décomposer en deux composantes : la réaction normale ⃗ R et la réaction tangentielle ⃗ f. Pour rappel on peut écrire le coeﬃcient de frottement statique ks par : ks = ∥− − → fmax∥ ∥− → R∥ avec ∥− − → fmax∥norme de la force maximale de frottement que peut uploads/s3/ tds-meca-polytech-l1-s2.pdf