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BCE BANQUE COMMUNE D’EPREUVES Conceptions : H.E.C.- E.S.C.P-E.A.P OPTION : TECHNOLOGIQUE MA THEMA TIQUES II Mercredi 7 mai 2008, de 14 h à 18 h. La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d’aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée. L’épreuve est constituée de quatre exercices indépendants. Exercice 1 Dans cet exercice, on note ln le logarithme népérien. Pour tout entier naturel n, on pose : un =  1 2 0 xn 1 −x2 dx, et donc en particulier, on a : u0 =  1 2 0 1 1 −x2 dx. 1. Vérifier que, pour tout réel x différent de 1 et de −1, on a : 1 1 −x2 = 1 2 × 1 1 −x + 1 2 × 1 1 + x . 2. On considère les trois fonctions f, g et h définies sur  0; 1 2  par : f (x) = ln (1 −x), g (x) = ln (1 + x) et h (x) = ln 1 −x2. a. Calculer, pour tout x de  0; 1 2  , les dérivées f′ (x) et g′ (x). b. Exprimer, pour tout x de  0; 1 2  , h (x) en fonction de f (x) et g (x). c. En déduire, pour tout x de  0; 1 2  , la dérivée h′ (x). 3. Déduire des questions 2.a. et 2.c. respectivement, que l’on a : u0 = ln 3 2 et u1 = 1 2 ln 4 3  . 4.a. Montrer, pour tout entier naturel n, l’égalité suivante : un −un+2 = 1 (n + 1) 2n+1 . b. En déduire les valeurs de u2 et de u3. 5.a. Montrer que la suite (un) est décroissante. b. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : un ≥0. c. En déduire que la suite (un) est convergente. 6.a. Montrer que pour tout x de  0; 1 2  , on a : 1 1 −x2 ≤4 3. 1 b. En déduire, pour tout n de N, l’inégalité suivante : un ≤ 4 3 (n + 1) 2n+1. c. Quelle est la limite de la suite (un)? 7. On pose, pour tout entier naturel n : Sn = n  k=0 uk, c’est-à-dire, Sn = u0 + u1 + ... + un. a. Donner, pour tout réel x différent de 1, l’expression sous forme de fraction, de la somme : 1 + x + ... + xn. b. Établir l’égalité : Sn =  1 2 0 1 (1 −x2) (1 −x) dx −  1 2 0 xn+1 (1 −x2) (1 −x) dx. c. Établir, pour tout entier naturel n, l’encadrement suivant : 0 ≤  1 2 0 xn+1 (1 −x2) (1 −x) dx ≤2un+1 d. En déduire l’expression de la limite de Sn quand n tend vers +∞, sous la forme d’une intégrale. e. En réduisant au même dénominateur, pour tout réel x de l’intervalle  0; 1 2  , l’expression :. 1 1 −x + 2 (1 −x)2 + 1 1 + x, déduire de la question 7.d. la valeur de lim n→+∞Sn. Exercice 2 On considère les matrices suivantes : A =   0 1 0 0 0 1 0 0 0  et I =   1 0 0 0 1 0 0 0 1  . 1.a. Calculer A2 et A3. b. En déduire An pour tout entier n supérieur ou égal à 3. 2. Dans cette question, M désigne une matrice carrée d’ordre 3 qui commute avec la matrice A, c’est-à-dire qui vérifie la relation : AM = MA. On pose : M =   a b c u v w x y z  . a. Montrer que les matrices qui commutent avec A sont de la forme : M =   a b c 0 a b 0 0 a  = aI + bA + cA2. b. En déduire que l’on a : M2 = a2I +2abA+b2 + 2ac A2. Écrire explicitement la matrice M2 en fonction de a, b et c. 3. On se propose de montrer qu’il n’existe aucune matrice N, carrée d’ordre 3, telle que N2 = A. a. Montrer que si une telle matrice N existait, alors elle vérifierait : AN = NA. b. En utilisant la question 2.b., en déduire qu’il n’existe pas de matrice N telle que N2 = A. 4. L ’objectif de cette question est de trouver les matrices P, carrées d’ordre 3, vérifiant PA = P −A. a. Justifier que la matrice I −A est inversible. b. Développer le produit (I −A) I + A + A2, et en déduire l’inverse de la matrice I −A en fonction de I, A et A2. c. Soit P une matrice vérifiant : PA = P −A. Montrer que : P = A (I −A)−1, et en déduire l’expression de P en fonction de A et de A2. 2 Exercice 3 Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = x 2 si 0 ≤x ≤2 f (x) = 0 sinon 1. Vérifier que f est une densité de probabilité. Dans toute la suite de l’exercice, X désigne une variable aléatoire admettant f pour densité. 2.a. Déterminer la fonction de répartition F de X. b. Montrer que l’espérance de X, notée E (X), est égale à 4 3. c. Calculer la valeur de E  X2 et celle de la variance V (X) de X. 3. On note U la variable aléatoire définie par : U = X2 ; on pose : Y = U 4 . a. Déterminer la fonction de répartition K de U, puis celle H de Y . b. Établir qu’une densité h de Y est donnée par : h (x) = 1 si 0 ≤x ≤1 h (x) = 0 sinon . Reconnaître la loi suivie par Y . c. Calculer la valeur de l’espérance E (Y ) de Y . Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Dans la suite, on considère n variables aléatoires X1, ..., Xn indépen- dantes, suivant toutes la même loi que X. 4. On note Zn la variable aléatoire définie par : Zn = sup (X1, X2, ...Xn), c’est-à-dire que, pour tout réel x, on a : [Zn ≤x] = ([X1 ≤x] ∩[X2 ≤x] ∩... ∩[Xn ≤x]). a. Montrer que la fonction de répartition G de Zn est donnée par :        G (x) = 0 si x ≤0 G (x) = x 2 2n si 0 ≤x ≤2. G (x) = 1 si x ≥2 b. Calculer une densité g de Zn. c. Calculer l’espérance de Zn, notée E (Zn), ainsi que sa limite quand n tend vers +∞. Exercice 4 Une urne contient 10 boules blanches et 2 boules noires. On extrait les boules de l’urne au hasard, une à une et sans remise, jusqu’à l’apparition d’une boule blanche. On désigne alors par X la variable aléatoire égale au nombre total de boules prélevées. La probabilité d’un événement A est notée P (A). Le but de l’exercice est de calculer l’espérance E (X) et la variance V (X) de X, de deux manières différentes. Partie 1 : première méthode 1. (a) Déterminer l’ensemble des valeurs prises par X. (b) Calculer la valeur de P ([X = 1]). (c) Montrer que P ([X = 2]) = 5 33 . (d) Calculer P ([X = 3]). 3 2. Montrer que E (X) = 13 11 . 3. Calculer E  X2 et en déduire que V (X) = 65 363. Partie 2 : deuxième méthode Dans cette partie, on suppose que les deux boules noires sont marquées N et N′. On note Y (respectivement Y ′) la variable aléatoire qui vaut 1 si la boule noire marquée N (respectivement N′) est prélevée avant l’apparition d’une boule blanche, et qui vaut 0 sinon. Pour tout entier i vérifiant 1 ≤i ≤2, on note Ni (respectivement N′ i) l’événement : « la boule noire marquée N (respectivement N′) est obtenue au i` eme tirage ». 1. (a) Exprimer l’événement [Y = 1] en fonction de N1, N′ 1 et N2. (b) En déduire que la variable aléatoire Y suit la loi de Bernoulli de paramètre 1 11. (c) Donner la loi de la variable aléatoire Y ′. 2. Justifier que : X = 1 + Y + Y ′. 3. Déduire de ce qui précède la valeur de E (X). 4. (a) Exprimer l’événement [Y = 1] ∩[Y ′ = 1] à l’aide des événements Ni et N′ i. (b) En déduire la valeur de P ([Y = 1] ∩[Y ′ uploads/s3/ annales-hec-2008-a-2011.pdf

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Administrationentier boule alors fonction naturel
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