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Traitement du Signal S5 Transformée de Fourier des signaux apériodiques V. Choq

Traitement du Signal S5 Transformée de Fourier des signaux apériodiques V. Choqueuse Département Electronique, ENIB Gitlab: https://git.enib.fr/choqueuse/s5_signal/issues Slide 1/ 29: Table des matières Introduction La transformée de Fourier Avant Propos Déﬁnitions Spectre d’amplitude et spectre de phase Exemples Propriétés Impulsion de Dirac Signal Constant Signal Echelon Fenêtre Rectangulaire (Porte) Fenêtre Triangulaire Signal Sinusoïdal Signal Périodique Peigne de Dirac Slide 2/ 29: Introduction Problématique Ï Résumé de l’épisode précédent : Nous avons appris à décomposer un signal périodique en une somme d’exponentielles complexes (ou de sinusoïdes) via la décomposition en Série de Fourier. Ï Problème : Les signaux rencontrés en pratique ne sont jamais périodiques. Tout a un début et... une ﬁn ! Méthodologie Dans ce chapitre, nous allons étendre le principe de la décomposition en série de Fourier à la classe des signaux apériodiques. Ï Décomposition en série de Fourier →Transformée de Fourier. Slide 3/ 29: Introduction La transformée de Fourier Avant Propos Ï Soit s(t) un signal T0-périodique d’énergie ﬁnie sur une période, s(t) = ∞ X n=−∞ Cne2jπnf0t (Décomposition) Cn = 1 T0 Z T0 2 −T0 2 s(t)e−2jπnf0tdt. (Coeﬃcients) Ï Pour les signaux s(t) apériodiques, nous allons considérer que le signal se répète sur une période...inﬁnie ! Lorsque T0 →∞, nous allons utiliser les notations asymptotiques suivantes : Ï nf0 →ν : ν est une variable continue, Ï CnT0 →S(ν) : S(ν) est une fonction continue, Ï 1 T0 →∆ν: ∆ν est une quantité inﬁnitésimale. Slide 4/ 29: La transformée de Fourier La transformée de Fourier Avant Propos Ï Lorsque T0 →∞, la décomposition peut s’exprimer sous la forme suivante (voir somme de Riemann) : s(t) = lim T0→∞ ∞ X n=−∞ Cne2jπnf0t = lim T0→∞ ∞ X n=−∞ CnT0e2jπnf0t 1 T0 = lim T0→∞ ∞ X n=−∞ S(nf0)e2jπnf0t∆ν = Z−∞ −∞S(ν)e2jπνtdν La fonction S(ν) s’exprime quand à elle sous la forme : S(ν) = lim T0→∞CnT0 = lim T0→∞ Z T0 2 −T0 2 s(t)e−2jπnf0tdt = Z∞ −∞s(t)e−2jπνtdt Slide 5/ 29: La transformée de Fourier La transformée de Fourier Condition d’existence Un signal s(t) ∈C admet une Transformée de Fourier (TF) sil il est de carré sommable (c-a-d à énergie ﬁnie) c-a-d Es = Z∞ −∞ |s(t)|2dt < ∞ Ï Certains signaux ne rentrent pas dans cette catégorie et n’admettent pas de TF au sens des fonctions, ils peuvent cependant avoir une TF au sens des distributions Déﬁnition La TF et la TF inverse sont déﬁnies par : S(ν) = TF[s(t)] = Z∞ −∞s(t)e−2jπνtdt (TF) s(t) = TF −1[S(ν)] = Z∞ −∞S(ν)e2jπνtdν (TF Inverse) Slide 6/ 29: La transformée de Fourier La transformée de Fourier Remarques S(ν) = TF[s(t)] = Z∞ −∞s(t)e−2jπνtdt (TF) s(t) = TF −1[S(ν)] = Z−∞ −∞S(ν)e2jπνtdν (TF Inverse) Ï La TF permet de passer d’une représentation temporelle (fonction de t) à une représentation fréquentielle (fonction de ν). La TF inverse permet de faire le chemin inverse. Ï WARNING: Les deux expressions semblent très proches mais attention aux subtilités. Ï TF: intégration par rapport au temps (t), exponentielle avec un signe négatif (−). Ï TF inverse: intégration par rapport à la fréquence (ν), exponentielle avec un signe positif (+). Slide 7/ 29: La transformée de Fourier La transformée de Fourier Spectre d’amplitude et spectre de phase Ï Le spectre d’amplitude correspond à la représentation graphique du module |S(ν)| en fonction de la fréquence ν. Ï Le spectre de phase correspond à la représentation graphique de l’argument arg[S(ν)] en fonction de la fréquence ν. Spectre d’amplitude et spectre de phase Ï Les spectres d’amplitude et de phase sont des spectres continus. Ï Pour les signaux réels , la symétrie hermitienne impose: Ï un spectre d’amplitude pair: |X(ν)| = |X(−ν)|, Ï un spectre de phase impair: arg[X(−ν)] = −arg[X(ν)]. Slide 8/ 29: La transformée de Fourier La transformée de Fourier - Exemples Exemples: Cas d’une impulsion rectangulaire (signal porte) Ï Représentation du signal 0 L 2 L 0 A t s(t) Ï Modèle de signal : Mathématiquement, le signal s’exprime sous la forme (A ≥0) s(t) = ½ A si 0 ≤t < L, 0 ailleurs. Ï Condition d’existence de la TF: La TF existe car Es = Z∞ −∞ |s(t)|2dt = ZL 0 A2dt = A2L < ∞ Ï Expression de la TF: S(ν) = Z∞ −∞ s(t)e−2jπνtdt = ZL 0 Ae−2jπνtdt = A× 1 −2jπν h e−2jπνtiL 0 = A −2jπν ³ e−2jπνL −1 ´ = A −2jπν e−jπνL ³ e−jπνL −e+jπνL´ = A πν sin(πνL)e−jπνL = ALsinc(πνL)e−jπνL Ï Spectre d’amplitude et de phase (k ∈Z): |S(ν)| = AL ¯ ¯ ¯ ¯ sin(πνL) πν ¯ ¯ ¯ ¯, arg[S(ν)] = −πνL+ ( 2kπ si sin(πνL) πν ≥0 (2k +1)π si sin(πνL) πν < 0 Slide 9/ 29: La transformée de Fourier La transformée de Fourier - Exemples Exemples: Cas d’une impulsion rectangulaire (signal porte) Ï Représentation du signal 0 L 2 L 0 A t s(t) Ï Modèle de signal : s(t) = ½ A si 0 ≤t < L, 0 ailleurs. Ï Transformée de Fourier : S(ν) = ALsinc(πνL)e−jπνL Ï Spectre du signal −2 L −1 L 0 1 L 2 L 0 AL ν (Hz) |S(ν)| |S(ν)| A π|ν| Figure 1: Spectre d’amplitude (vitesse de décroissance en 1/ν) −2 0 2 −2 0 2 ν (Hz) arg[S(ν)] Figure 2: Spectre de phase Slide 10/ 29: La transformée de Fourier La transformée de Fourier - Exemples Exemples: Cas d’une impulsion triangulaire Ï Représentation du signal −L 0 L 0 A t s(t) Ï Modèle de signal : Mathématiquement, le signal s’exprime sous la forme (A ≥0) s(t) = A∆L(t) = ( A ³ 1−|t| L ´ si 0 ≤|t| ≤L, 0 ailleurs. Ï Condition d’existence de la TF: La TF existe car Es = Z∞ −∞ |s(t)|2dt = 2A2L 3 < ∞ Ï Expression de la TF: S(ν) = Z∞ −∞ s(t)e−2jπνtdt = AL · sin(πνL) πνL ¸2 = AL(sinc(πνL))2 Ï Spectre d’amplitude et de phase (k ∈Z): |S(ν)| = AL(sinc(πνL))2 arg[S(ν)] = 2kπ, k ∈Z Slide 11/ 29: La transformée de Fourier La transformée de Fourier - Exemples Exemples: Cas d’une impulsion triangulaire Ï Représentation du signal −L 0 L 0 A t s(t) Ï Modèle de signal : s(t) = A∆L(t) = ( A ³ 1−|t| L ´ si 0 ≤|t| ≤L, 0 ailleurs. Ï Transformée de Fourier : S(ν) = AL(sinc(πνL))2 Ï Spectre du signal −2 L −1 L 0 1 L 2 L 0 AL ν (Hz) |S(ν)| |S(ν)| A L(πν)2 Figure 3: Spectre d’amplitude (vitesse de décroissance en 1/(ν2)) −2 0 2 −0.5 0 0.5 1 ν (Hz) arg[S(ν)] Figure 4: Spectre de phase Slide 12/ 29: La transformée de Fourier La transformée de Fourier - Exemples Exemples: Cas d’une impulsion exponentielle décroissante Ï Représentation du signal 0 1 α 0 A t s(t) Ï Modèle de signal : Mathématiquement, le signal s’exprime sous la forme (α ≥0, A ≥0) s(t) = Ae−αtu(t) Ï Condition d’existence de la TF: La TF existe car Es = Z∞ −∞ |s(t)|2dt = A2 2α < ∞ Ï Expression de la TF: S(ν) = Z∞ −∞ s(t)e−2jπνtdt = Z∞ 0 Ae−αte−2jπνtdt = A α+2jπν Ï Spectre d’amplitude et de phase (k ∈Z): |S(ν)| = A p α2 +4π2ν2 , arg[S(ν)] = −arctan µ 2πν α ¶ +2kπ, k ∈Z. Slide 13/ 29: La transformée de Fourier La transformée de Fourier - Exemples Exemples: Cas d’une impulsion exponentielle décroissante Ï Représentation du signal 0 1 α 0 A t s(t) Ï Modèle de signal : s(t) = ½ A si 0 ≤t < L, 0 ailleurs. Ï Transformée de Fourier : S(ν) = ALsinc(πνL)e−jπνL Ï Spectre du signal −2 0 2 0 A α ν (Hz) |S(ν)| |S(ν)| Figure 5: Spectre d’amplitude (vitesse de décroissance en 1/ν) −2 0 2 −π 2 0 π 2 ν (Hz) arg[S(ν)] Figure 6: Spectre de phase Slide 14/ 29: La transformée de Fourier Propriétés Avant Propos Pour déterminer la TF d’un signal s(t), le calcul de l’intégrale ne doit être réalisé qu’en dernier recours. Idéalement, nous préférons utiliser les propriétés de la TF pour déterminer S(ν) rapidement. Propriété (Linéarité) Soit s1(t) et s2(t) deux signaux de TF respectives S1(ν) et S2(ν). La TF de y(t) = α1s1(t)+α2s2(t) est donnée par : Y (ν) = α1S1(ν)+α2S2(ν). Propriété (Conjugaison) Soit s(t) ∈C un signal dont la TF est noté S(ν). La TF de son complexe conjugué s∗(t) est égale à : TF[s∗(t)] = S∗(−ν) Ï Lorsque s(t) ∈R (c-a-d s(t) = s∗(t)), S(ν) = S∗(−ν) (symétrie hermitienne) Slide 15/ 29: Propriétés Propriétés Propriété (Parité) Soit s(t) un signal dont la TF est notée S(ν). Ï Si s(t) est pair, alors S(ν) est réel et pair, Ï Si s(t) est impair, alors S(ν) est imaginaire pur et impair. Propriété (Translation ou retard) Soit s(t) un signal dont la TF est notée S(ν). La TF de sa version retardée s(t −τ) est donnée par : TF[s(t −τ)] = S(ν)e−2jπντ. Ï Dans le domaine fréquentiel, un retard se visualise en regardant le spectre de phase. Slide 16/ 29: Propriétés Propriétés Propriété (Homothétie et changement d’échelle) Soit s(t) un signal uploads/s3/ traitement-du-signal-s5-transformee-de-fourier-des-signaux-aperiodiques.pdf