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1 Département Télécom 2a, chapitre 3, part I du cours « Transmission Numérique

1 Département Télécom 2a, chapitre 3, part I du cours « Transmission Numérique de Données » Laurent Ros (Avril 2008, V4) Chapitre 3 Transmission numérique sur fréquence porteuse I. Modulations numériques sur fréquence porteuse I.1 INTRODUCTION I.1.1. Transmission numérique en bande de base ou sur fréquence porteuse ? La modulation numérique est l’application qui fait correspondre à une suite de symboles numériques (bits issus de la source B) un signal continu (réel) x(t) capable de traverser le canal de transmission, que l’on appelle signal modulé (par un message numérique). Cette définition se détache de celle de la modulation analogique, et on pourra distinguer : • Transmission en bande de base : x(t) est un signal réel de type passe-bas, de spectre mono-latéral (c’est à dire si on ne parle que des fréquences positives) démarrant à 0Hz (bande mono-latérale [0 ; B] ou bande bilatérale [-B ;B]) , • modulation sur fréquence porteuse : x(t) est un signal réel passe-bande autour d’une fréquence porteuse f0, (bande mono-latérale [f0 –∆f1 ; f0 +∆f2]), avec B = ∆f2 + ∆f1 << f0 . La transmission en bande de base peut-être précieuse, étant donné sa simplicité de mise en œuvre, par exemple pour des liaisons courtes par câbles. Elle peut aussi être un préalable à l’opération de modulation d’une porteuse, qui vise à translater le support fréquentiel du signal en bande de base dans la bande passante du canal (dans ce cas on pourra transposer dans la même bande 2 signaux en bande de base !). Un bref rappel de « modulation » en bande de base, vu en 1° année, se trouve en annexe. Nous allons traiter dans la suite uniquement les modulations sur fréquence porteuse. I.1.2. Forme générale d’une modulation numérique sur fréquence porteuse : L’opération de modulation numérique peut (au moins formellement) se décomposer en une opération de « construction des composantes en Bande de Base du signal modulé » (qui dépend du format de la modulation) suivie d’une opération universelle de transposition autour de la Fréquence Porteuse désirée, appelée « Modulation I/Q ». Modulation I/Q : Le signal modulé x(t) étant un signal réel passe-bande de largeur B autour d’une fréquence porteuse f0, , il peut toujours s’écrire (et être construit), en tant que signal à bande étroite (B << f0 ): x(t) = xI (t)cos(2πf0t) + xQ (t)cos(2πf0t + π/2) (1) où xI (t), et xQ (t) sont deux signaux réels en bande de base (de type passe-bas, bande monolatérale [0 ;B/2]) appelés respectivement voies en phase (I, « In phase ») et en quadrature (Q) car ils modulent respectivement la porteuse « cos(2πf0t) » et la porteuse en quadrature « cos(2πf0t + π/2) » . On parle de « modulation I/Q » pour désigner le passage des composantes { xI(t), xQ(t) } au signal en bande portée x(t). Cette opération correspond à une « transposition de fréquence » universelle, qui concerne aussi bien les modulations analogiques que numériques. Dans le cas d’une modulation numérique, le signal analogique x(t) véhicule des informations numériques, qui sont distinctes à travers xI (t) d’une part, et xQ (t) d’autre part. Il sera commode de représenter cette double dimension à partir d’un signal complexe passe-bas : (t) (t) ) ( ~ Q I j.x x t x + = 2 MOD. I / Q sur fréq. porteuse f0 « mapping » : bits => symboles Signal modulé x(t) ( Tb ) B Mise en forme analogique (voies I et Q) ( Ts ) aI [m] aQ [m] Bits (données) Symboles de Mod. xI (t) xQ(t) X X + cos(2πf0t) π/2 Signaux en B.B. D Codage différentiel (option) Bits Figure 3.1.1 : modulation numérique sur fréquence porteuse (avec symboles de modulation intermédiaires) Construction des composantes en Bande de Base du signal modulé : • Correspondance : une correspondance est établie entre les blocs de n bits entrants (D) et M = 2n formes d’ondes analogiques complexes, indicées de i = 0 à M-1, et notées ) ( . ) ( ) ( ~ t x j t x t x i Q i I i + = • Rapidité de modulation : R =1/ Ts , exprimée en bauds ou symbole /seconde. L’enveloppe complexe ) ( ~ t x du signal modulé est construite à partir de l’émission tous les temps symboles, aux instants m.Ts , (m ∈Z) d’un signal ) ( ~ t x m i choisi parmi les M possibles (selon le bloc de n bits à transmettre) : { } 1 ,..., 1 , 0 ; ) ( ~ ) ( ~ - m − ∈ − = ∑ +∞ ∞ = M i mTs t x t x m m i • Modulation sans ou avec mémoire : lorsque la forme d’onde ) ( ~ t x m i à transmettre à l’instant m.Ts dépend du bloc de n bits (D) courants seulement (et non aussi d’un ou de plusieurs blocs précédents), on dit que la modulation est sans mémoire. Dans ce cas, on a une correspondance bijective entre les M = 2n blocs de n bits possibles, et les M formes d’ondes complexes ) ( ~ t x i . La procédure décrite ci-dessus est la plus générale pour définir une modulation de rapidité R. Dans la grande majorité des modulations, on a une étape intermédiaire (Cf fig 3.1.1 et 3.1.2) entre le bloc de n bits et le signal complexe ) ( ~ t x i : • Etiquetage (« mapping ») : opération intermédiaire de passage « bits = > symboles ». Chaque bloc de n bits (D) est d’abord associé à un symbole de modulation i a ~ , à valeur numérique complexe (= aI i + j. aQ i ) prise dans un alphabet Amod de taille M, à transmettre donc au rythme de R symbole par seconde. Si de plus la modulation est sans mémoire, on a alors les correspondances bijectives : blocs de n bits n°{ «0» , «1» ,…, «M-1» } { } 1 1 0 mod ~ ..., , ~ , ~ − = M a a a A ∈ CM { } ) ( ~ ..., ), ( ~ ), ( ~ 1 1 0 t x t x t x M − • Modulation Linéaire ou non linéaire : si la forme d’onde s’exprime comme une fonction F (réelle ou complexe) du symbole numérique de même indice, soit { } ~ F ) ( ~ i a t x i = , et que F est linéaire, on dit que la modulation est linéaire. Les modulations d’amplitude ou de phase entrent dans cette catégorie, mais pas les modulation de fréquence (on a seulement { } { } ) ( exp ) ( ~ i 2 1 a jF F t x i = , avec F1 et F2 linéaires). 1 symbole à M = 2n états n bits b b s s nT n D D T R 1 1 = = = = temps Rapidité de modulation R (en symb/sec ou Bauds), Tb : temps bit Ts : temps symbole ] 1 [ ~ − m a ] [ ~ m a ] 1 [ ~ + m a Débit binaire Db = 1/Tb (en bits/sec) Figure 3.1.2 : Changement de rythme dans l’opération de passage des bits aux symboles de modulation . 3 Energie par bit du signal modulé, Eb : Pour étudier et comparer les modulations, une grandeur fondamentale est l’Energie dépensée en moyenne pour transmettre un bit, désignée par Eb. Pour une transmission sur fréquence porteuse, Eb ,est toujours relative au signal modulé en bande portée. En général on a besoin d’évaluer Eb en entrée du récepteur, c’est à dire après transmission dans le canal de propagation, mais celui-ci étant supposé ici de gain unitaire, on s’intéresse à l’énergie moyenne par bit du signal modulé en bande portée x(t) à l’émission, soit Eb = Eb (x). • De manière pratique, Eb est accessible à la mesure, puisqu’il suffit de mesurer au wattmètre la puissance moyenne P du signal modulé x(t) , et d’utiliser la relation Eb = P . Tb, où Tb = 1 / Db est le temps bit. • De manière théorique, l’expression de Eb peut s’obtenir à partir de l’expression de x(t), comme nous le verrons plus précisément en I.3 et I.4. Ceci nécessitera quelques précautions, car le signal x(t) est considéré comme un signal aléatoire, étant donné qu’il est construit à partir des symboles à transmettre qui sont eux mêmes aléatoires et de plus stationnaires. Précision Annexe générale sur l’évaluation de Eb : - pour 1 réalisation du signal x(t) supposé à puissance moyenne finie durant la transmission de K symboles, on a : 0 0 2 1 1 _1 . K t KTs t Eb real x(t) dt n + = ∫ , où on rappelle que n = lb(M) est le nombre de bits par symbole. - pour obtenir une valeur moyenne statistique, il suffit en théorie uploads/s3/ tnd-modu-2008-v4.pdf