Notes de cours IPHO Année 2016-2017 Chapitre 3 : Equation de Bernoulli 1 Théorè

Notes de cours IPHO Année 2016-2017 Chapitre 3 : Equation de Bernoulli 1 Théorèmes de Bernoulli 1.a Hypothèses Le Théorème de Bernoulli n’est pas applicable si le système contient une pièce mobile (hélice ...). Propriété à connaître 1.b Cas d’un écoulement parfait, stationnaire, irrotationnel, in- compressible et homogène Savoir démontrer №1 : Théorème de Bernoulli  M1, M2 R galiléen et champ de pesanteur uniforme,  E1, E3 Fluide parfait et homogène,  L1 Ecoulement incompressible,  E2,E4 Ecoulement stationnaire et irrotationnel. v2 2 + p µ + gz = cte Savoir démontrer №2 : Théorème de Bernoulli  M1, M2 R galiléen et champ de pesanteur uniforme,  E1, E3 Fluide parfait et homogène  L1 Ecoulement incompressible  E2 Ecoulement stationnaire  E5 A et B sur une même ligne de courant v2 A 2 + pA µ + gzA = v2 B 2 + pB µ + gzB Savoir démontrer №3 : Ecoulement parallèle Dans un écoulement parallèle, les zones de rétrécissement correspondent aux zones de pression minimale.     Application 1 : Aile d’avion Montrer que la forme de l’aile d’avion laisse penser à une force de portance vers le haut. 2 Phénomène de Venturi ' & $ % Application 2 : Tube de Venturi Un tube de Venturi est constitué d’un rétrécissement qui sépare deux régions, de sections différentes SA et SB < SA, d’une canalisation horizontale. Des tubes verticaux émergent de ces régions et sont ouverts sur l’air ambiant. De l’eau, assimilée à un fluide parfait de masse volumique µ, s’écoule de façon permanente dans la canalisation. On constate que les altitudes respectives hA et hB des surfaces libres d’eau ne sont pas les mêmes dans les deux premiers tubes verticaux. 1. Établir une relation entre (hA −hB) et la vitesse du fluide dans la canali- sation au niveau de la section SA. Les hauteurs relatives des niveaux dans les tubes du schéma du cours sont-elles qualitativement correctes ? 2. La section de la canalisation au niveau du troisième tube vertical est SC = SA. On note hC l’altitude de la surface libre dans ce troisième tube. Comment doit se situer l’altitude hC théorique par rapport à hA ? Ch. B. page : 7 Lycée Masséna - Nice Notes de cours IPHO Année 2016-2017 Réponse : 1. Relation sur les vitesses : (a) Soit le point A′ qui est situé à la verticale de A mais dans la partie inférieure du tube vertical et B′ en bas du second tube (voir schéma). On suppose que A′ et B′ sont sur une même ligne de courant, l’écoulement est parfait et stationnaire pour un fluide homogène, on peut donc utiliser le théorème de Bernoulli sur la ligne de courant entre A′ et B′. pA′ + V 2 A 2 + µgzA′ = pB′ + V 2 B 2 + µgzB′ On a supposé que la vitesse est uniforme sur une section de la conduite (indé- pendante de z ) : donc VA′ = VA. (b) La conservation du débit volumique (écoulement incompressible) permet d’écrire : VASA = VBSB (c) Entre A et A′, le fluide est au repos, on peut donc écrire un principe de la statique (PFS) : pA′ = p0 + µg (hA −zA′) pB′ = p0 + µg (hB −zB′) (d) On rassemble toutes ces relations, on trouve donc V 2 A = g hB −hA 1 −SA SB Comme V 2 A > 0,  si SB < SA alors hB < hA (comme sur le schéma).  si SB > SA alors hB > hA 2. Si SC = SA, alors les hauteurs dans les tubes doivent être rigoureusement les même : hC = hA. Ici il y a une perte de charge (fluide visqueux) qui explique que hC < hA. 3 Théorème de Torricelli Savoir démontrer №4 : Théorème de Torricelli Soit un récipient percé d’un trou à la distance h sous la surface libre du liquide incompressible. La vitesse du liquide sortant par le trou est v = p 2gh Réponse : A t = 0, on ouvre le robinet du réservoir (situé en B). Initialement la hauteur d’eau dans le réservoir est h0 et on la note h(t) à l’instant t. 1. Une fois le robinet ouvert, on suppose l’écoulement unidimensionnel à l’interface air-eau dans le réservoir avec − → v (M, t) = −V (t)− → u z = −˙ h− → u z et dans le tube hori- zontal où − → v (M, t) = v(x, t)− → u x. On a donc par conservation du débit volumique v(x, t) = S s V (t) = −S s dh dt ce qui permet avec s ≪S de négliger V (t) devant v(t) dans toute la suite. 2. On se place dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires : on va pouvoir appliquer le théorème de Bernoulli stationnaire (même si h (t)). Ch. B. page : 8 Lycée Masséna - Nice Notes de cours IPHO Année 2016-2017 Cela revient à négliger l’accélération locale devant − − → grad 1 2v2. On trouve donc µgzA = µ1 2v2 + µgzB 3. Finalement v = p 2gh 4 Tube de Pitot ' & $ % Application 3 : Tube de Pitot On considère un tube de Pitot, placé dans un écoulement uniforme à la vitesse constante − → v = v− → u x, loin en amont du tube. Deux trous sont percés dans le tube : A qui fait face à l’écoulement et B sur le côté du tube. Chaque trou mène sur une cavité bouchée, au fond de laquelle se trouve un capteur de pression. 1. Montrer que la différence de pression PA −PB permet de connaître la vitesse v. 2. Ces trous portent les noms de « prise de pression dynamique » et « prise de pression statique ». Expliquer pourquoi. 3. Est-il légitime de considérer l’écoulement comme parfait ? 4. Ce système est-il fiable dans toutes les situations ? Ch. B. page : 9 Lycée Masséna - Nice uploads/s3/ fluel-bien.pdf

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