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Académie de Poitiers GEOGEBRA ET LE CALCUL FORMEL. Janvier 2014 Page 1 Module c

Académie de Poitiers GEOGEBRA ET LE CALCUL FORMEL. Janvier 2014 Page 1 Module calcul formel de GeoGebra A partir de la version GeoGebra 4, on peut faire apparaître toutes les commandes dont celles de calcul Formel en cliquant en bas à droite de l'écran sur la petite flèche. Toutes les catégories de commandes apparaissent et parmi elles les commandes de calcul formel. En cliquant sur le petit + , on développe la liste de toutes les commandes du calcul formel. Certaines peuvent être utilisées directement en ligne de saisie. A partir de la version 4.2, il est possible de travailler dans une fenêtre « Calcul Formel » en plus des fenêtres Algèbre, Graphique et Tableur. Au lancement du logiciel, un choix vous est proposé : Dans la suite nous allons choisir « CAS & Graphique » puis dans le menu «Affichage », il faut activer « champ de saisie » pour avoir accès à la liste de toutes les commandes si nécessaire. La barre suivante apparaît en bas de l’écran : liste des commandes: On peut aussi activer la fenêtre « Calcul formel » à tout moment depuis le menu « Affichage » En cliquant alternativement dans l’une ou l’autre fenêtre, les icônes changent. Fenêtre « Graphique » : Fenêtre « Calcul formel » Page 2 Quelques exemples d’utilisation : Dans la fenêtre « Calcul formel » entrer f(x) : = x^2-3x+2 (Remarquer le signe « : = » pour la définition des fonctions.) La courbe représentant f est aussitôt tracée dans la fenêtre « Graphique » Si vous cliquez sur le petit disque en dessous du numéro de la ligne, la courbe ne sera plus affichée On peut aussi entre autres :  calculer une image en entrant f(sqrt(3)+1) :  factoriser en entrant f(x) puis en cliquant sur l’icône  demander la forme canonique. En tapant les premières lettres, la liste des commandes disponibles apparait, il ne reste plus qu’à cliquer sur la commande souhaitée.  résoudre une équation : Entrer f(x) = 5 puis cliquer sur Page 3  dériver ou intégrer avec l’icône ou se trouvant sous l’icône précédent. Si on veut le calcul et le tracé de la courbe de la fonction dérivée, il ne faut pas utiliser les icônes mais entrer : g(x) : = Dérivée[f(x)]  Calculer des probabilités On peut ainsi calculer la probabilité qu’une variable aléatoire suivant une loi binomiale, par exemple, soit comprise entre deux valeurs. A gauche du titre de la fenêtre, si vous cliquez sur le petit triangle, vous afficherez un clavier virtuel Page 4 Activité collège : SITUATION GEOMETRIQUE A MODELISER ABCD est un rectangle tel que AB = 2 cm et BC =5 cm. M est un point de [BC]. On note x la longueur BM. Pour quelle(s) position(s) de M, le triangle AMD est rectangle en M. 1. Conjecturer à l’aide du logiciel GeoGebra. 2. Calculer AM² puis MD² en fonction de x. 3. Déterminer l’équation qui traduit le fait que le triangle MAD est rectangle en M. 4. A l’aide du logiciel de calcul formel, répondre à la question. 5. En utilisant une propriété de quatrième, donner une construction géométrique des positions possibles du point M. Question 1 : Questions 2 et 3 : On obtient l’équation 2x²-10x+8=0 Question 4 : Plusieurs possibilités pour y répondre : - On trace la représentation graphique de la fonction f(x) = 2x²-10x+8 et on lit ses racines - On demande la factorisation de f(x), et les élèves utilisent la règle de « un produit de facteurs est nul… » - On demande au logiciel de calcul formel de résoudre l’équation. Page 5 Question 5 : Remarque : En prenant AB = 2 et BC = 6, on obtient des racines non entières, ce qui rend obligatoire le recours au logiciel de calcul formel aussi bien au niveau troisième que seconde. Page 6 Activité collège : Un problème de miroir I- Présentation du problème Pour décorer le salon de l’un de ses clients, un décorateur pense placer, entre autres choses, un miroir formé de trois carrés. Pour obtenir un ensemble harmonieux, il pense que le côté du plus grand carré doit avoir 7,5 cm de plus que celui du second, qui, lui-même, doit avoir 7,5 cm de plus que celui du plus petit. De plus, il faut aussi que l’aire du grand carré soit égale à la somme des aires des deux autres carrés réunis. Il passe la commande à un miroitier sous ces conditions. Vous devez aider ce dernier à calculer le côté de chaque carré pour qu’il puisse honorer cette étrange commande. II - Résolution du problème 1) Choisir comme inconnue c qui sera le côté du premier carré 2) Représenter la figure avec GeoGebra en prenant comme curseur c Faire varier c et trouver la valeur de c pour laquelle l’aire du grand carré est égale à la somme des aires des deux autres carrés réunis. Page 7 3) Déterminer l’équation que doit vérifier c 4) On obtient une équation du second degré que l’on peut résoudre avec GeoGebra Dans GeoGebra , cliquer sur calcul formel dans Affichage Une nouvelle barre d’outils apparaît . Dans la fenêtre « calcul formel », écrire l’équation à résoudre puis cliquer sur l’icône Les deux solutions s’affichent. Il faut choisir la bonne ! 5) Il est intéressant de faire remarquer aux élèves que si l’on avait choisi pour inconnue le côté du deuxième carré, l’équation à résoudre est plus simple et ne nécessite pas l’utilisation d’un logiciel Page 8 Activité collège : UN PROBLEME DE PARTAGE Cinq frères et sœurs ont hérité de cinq terrains carrés dont les mesures des côtés sont cinq entiers consécutifs. Les terrains sont assemblés en deux groupes : les trois plus petits terrains d’un côté du chemin, les deux plus grands terrains de l’autre côté. Les surfaces de part et d’autre du chemin sont égales. Trouver les dimensions de chaque terrain. Page 9 1 La fenêtre de calcul formel comme assistant pour la résolution d’équa- tions au collège La fenêtre de calcul formel est un outil utile pour l’apprentissage de la résolution des équations du premier degré. On peut faire une résolution pas à pas aﬁn de travailler les règles de transposition. Le logiciel ne fait pas tout et c’est l’élève qui choisit les opérations à réaliser sur les deux membres de l’équation. Partons de l’exemple suivant : 5x −7 = −3x + 29 1. On peut saisir cette équation dans la fenêtre de calcul formel : 2. On peut ensuite la recopier et appliquer une règle de transposition : 3. Remarque : pour gagner du temps en saisie, on peut aussi utiliser les commandes de rappels : – références statiques de lignes : la commande # reprend l’expression d’une autre ligne, mais ne sera pas actualisée si on modiﬁe ensuite la ligne de référence : • # insère la sortie précédente ; • #4 insère la sortie de la ligne 4 ; – références dynamiques de lignes : la commande $ reprend l’expression d’une autre ligne, mais sera actualisée si on modiﬁe ensuite la ligne de référence : • $ insère la sortie précédente ; • $4 insère la sortie de la ligne 4 ; – on peut aussi utiliser la touche "parenthèse fermante" ) qui rappelle l’expression précédente. 4. Essayer successivement les trois commandes ) +3x, $1+3x et #1+3x. 5. On peut poursuivre la résolution : 6. On peut demander une valeur décimale de la solution avec la commande Numérique ou l’icône : Page 10 7. On peut ensuite vériﬁer sa solution avec des substitutions par la valeur candidate dans chaque membre : 8. Mais on peut aussi eﬀectuer une substitution simultanée avec la commande Substituer ou l’icône : 9. Bien sûr, on peut aussi donner une résolution directe avec la commande Résoudre ou l’icône : 10. Remarque 1 : si une équation contient des parenthèses et des développements, il suﬃt de la saisir dans la fenêtre de calcul formel. Les deux membres seront automatiquement développés et réduits : 11. Remarque 2 : On peut aussi tester si une valeur numérique est solution d’une équation : La réponse fournie par le logiciel peut donner aux élèves l’occasion de s’interroger sur le statut du signe "=" dans une équation. Page 11 2 Et pour les systèmes d’équations ? 1. On peut aussi résoudre un système d’équations, en mettant la liste d’équations et la liste d’inconnues entre accolades : 2. Avec la commande Résoudre, la résolution est immédiate : 3. Mais on peut aussi travailler pas à pas : Par combinaison : Par substitution : Cela permet aux élèves de se concentrer sur les démarches en se délestant des contraintes de calcul. 4. Là encore, on peut tester si un couple de nombres est solution d’un système d’équations : Page 12 Exemples d’utilisation de GeoGebra Fin de collège/ début de lycée 1 Comparaisons de fractions formées d’entiers consécutifs 1. (Avec la calculatrice) Dans chaque cas, laquelle des deux fractions est la plus grande ? uploads/s3/ geogebra-et-le-calcul-formel 1 .pdf