UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR Ann´ ee 2007 −2008 FACULTE DES SCIENCES ET

UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR Ann´ ee 2007 −2008 FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES MPI, ALG` EBRE CORRECTION DE LA S´ ERIE 3 PAR FARBA FAYE Exercice 1. 1.1. Montrer que ∀m, n ∈Z∗× Z∗, mZ + nZ = (m ∧n)Z 1.2. En d´ eduire le th´ eor` eme de Bezout-Bachet : Deux entiers m et n non nuls sont premiers entre eux ( c’est ` a dire m ∧n = 1) si et seulement si il existe un couple (u, v) d’entiers tel que mu + nv = 1 1.3. Soit G un groupe cyclique m ´ el´ ements, a un g´ en´ erateur de G. i) Soit k un ´ el´ ement de N∗et notons d le pgcd de m et k. Montrer que < ak >=< ad >. ii) En d´ eduire que ∀k ∈N∗, ak est un g´ en´ erateur de G ⇔m ∧k = 1 iii) D´ eterminer l’ordre du sous-groupe engendr´ e par ak 1.4. Montrer que tout sous-groupe cyclique d’ordre n est isomorphe Z/nZ Correction 1. 1.1. Puisque mZ et nZ sont des sous-groupes de Z, mZ + nZ = nZ + mZ (Z ´ etant commutatif), d’apr` es un exercice fait dans la s´ erie pr´ ec´ edente, mZ + nZ est un sous groupe de Z. Il est donc de la forme dZ Comme m appartient mZ + nZ, il appartient dZ, donc d divise m. De mˆ eme d divise n ; c’est donc un diviseur commun de m et n. Montrons que d est le plus grand diviseur commun de m et n. Si p est un diviseur commun de m et n ; alors m ∈pZ donc mZ =< m > est inclus dans pZ. De mˆ eme nZ est inclus dans pZ. Donc dZ = mZ + nZ est inclus dans pZ c’est ` a dire d est un miltiple de p ; il est alors plus grand que p. 1.2. Si m et n sont deux entiers premiers entre eux, on peut ´ ecrire : 1 ∈1Z = (m ∧n)Z = mZ + nZ, donc ∃u, v ∈Z : 1 = mu + nv 1.3. R´ eciproquement s’il existe deux entiers u et v tels que 1 = mu + nv, 1 = mu+nv ∈mZ+nZ = (m∧n)Z ⇒Z =< 1 >⊂(m∧n)Z ⇒Z = (m∧n)Z ⇔m∧n = 1 1 2 MP1, Alg` ebre ; Correction de la s´ erie 3, F.Faye (page 2/ 9 ) 1.4. i) Comme d = m ∧k, (m ∧k)Z = dZ donc il existe deux entiers u et v tels que mu + kv = d ; ce qui entrane : amu+kv = ad c’est ` a dire (am)u + (ak)v = ad ou ad = (ak)v. Donc ad ∈< ak >, ce qui entrane : < ad >⊂< ak >. D’un autre ct´ e k est un multiple de d, donc il existe un entier p tel que k = pd ; ce qui entrane : ak = apd c’est ` a dire ak = (ad)p. Donc ak ∈< ad >, ce qui entrane : < ak >⊂< ad >. Conclusion : < ak >=< ad >. ii) ∀k ∈N∗, ak est un g´ en´ erateur de G ⇔< ak >= G ⇔a ∈< ak >⇔∃u ∈Z : /a = (ak)u ⇔∃u ∈Z : /aku−1 = e ⇔∃u ∈Z : /ku −1 est un multiple de m ⇔∃u, v ∈Z : /ku −1 = mu ⇔−ku + mu = 1 ⇔m ∧k = 1 iii) En posant toujours m ∧k = d, on a : | < ak > | = | < ad > | = d Exercice 2. Soit G un groupe et a un ´ el´ ement de (G, .). On d´ efinit l’application ϕa : G →G par ∀x ∈G, ϕa(x) = axa−1 2.1. Montrer que ϕa est un automorphisme de G (Il est appel´ e automorphisme int´ erieur de G d´ efini par a) 2.2. Montrer que Aut(G) ensemble des automorphismes de G est un groupe quand on le munit de la loi ◦de composition des apllications et que l’application ϕ : Aut(G) →Aut(G) d´ efinie par ∀a ∈G, ϕ(a) = ϕa est un homomorphisme de groupes. D´ eterminer kerϕ. 2.3. Montrer qu’un sous-groupe H de G est normal si et seulement si ϕa(H) = H pour tout a ∈G. 2.4. Soit (G, .) un groupe et H un sous-groupe de G. Montrer que si [G : H] = 2 alors H est normal dans G. Correction 2. Aut(G) est une partie de l’ensemble B(G) de toutes les bijections de G sur G, lequel, lorsqu’il est muni de la loi ◦de compossition des applications est un groupe. Il suffit de montrer que Aut(G) est un sous-groupe de B(G). - Aut(G) est non vide car il contient l’application identique IG = ϕe de G sur G. - Si ϕa et ϕb sont deux ´ el´ ements quelconques de Aut(G), alors : ∀x ∈G, ϕa ◦ϕb(x) = abxb−1a−1 = (ab)x(ab)−1 = ϕab(x) Donc ϕa ◦ϕb = ϕab appartient G MP1, Alg` ebre ;Correction de la s´ erie 3, F.Faye (page 3/ 9 ) 3 - Si ϕa est un ´ el´ ement quelconque de Aut(G), alors d’apr` es le point pr´ ec´ edent et en remplaant b par a−1 : ϕa ◦ϕa−1 = ϕaa−1 = ϕe = IG Donc (ϕa)−1 = ϕa−1 appartient G 2.5. L’applcation ϕ est un homomorphisme de groupes car ∀a, b ∈G, ϕ(ab) = ϕab = ϕa ◦ϕb = ϕ(a) ◦ϕ(b) 2.6. Soit x un ´ el´ ement de G. Si x appartenant pas H, alors xH = Hx = H parce que H est un sous-groupe de G. Si x n’appartenant pas H, alors H et xH sont les seules classes gauche modulo H ; donc xH = Hc. De mˆ eme H et Hx sont les seules classes droite modulo H ; donc Hx = Hc. Par cons´ equent xH = Hx. Par cons´ equent H est distingu´ e. Exercice 3. Pour chacune des permutations suivantes, d´ eterminer sa d´ ecomposition canonique en produits de cycles disjoints, son ordre, sa signature et une d´ ecomposition en produit de transpositions. σ1 =  1 2 3 4 5 6 3 5 4 6 2 1  , σ2 =  1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 6 9 7 2 5 8 1 3  σ2 =  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 1 8 7 9 11 12 10 5 6  calculer ensuite σ45 1 , σ2008 2 , σ1429 3 Correction 3. σ1 = σ11σ12, avec σ11 = (1, 3, 4, 6) et σ12 = (2, 5) σ2 = σ21σ22σ23, avec σ21 = (1, 4, 7, 8), σ22 = (2, 6, 5) et σ23 = (3, 9) σ3 = σ31σ22σ23, avec σ31 = (1, 3, 2, 4), σ32 = (5, 8, 11) et σ33 = (6, 7, 9, 12) Les supports des cycles qui entrent dans la d´ ecomposition de chaque σi sont dis- joints. donc oσ1 = oσ11 oσ12 = 4 ∨2 = 4 oσ2 = oσ21 oσ22 oσ23 = 4 ∨3 ∨2 = 12 oσ3 = oσ31 oσ32 oσ33 = 4 ∨3 ∨4 = 12 Puissque la signature ε est un homomorphisme de groupes et que la signature dun cycle de longueur p est (−1)p−1, on peut ´ ecrire : ε(σ1) = ε(σ11)ε(σ12), ε(σ2) = ε(σ21)ε(σ22)ε(σ23), ε(σ3) = ε(σ31)ε(σ32)ε(σ33) 4 MP1, Alg` ebre ; Correction de la s´ erie 3, F.Faye (page 4/ 9 ) ε(σ1) = ε(σ11)ε(σ12) = (−1)3(−1)1 = 1 ε(σ2) = ε(σ21)ε(σ22)ε(σ23) = (−1)3(−1)2(−1)1 = 1 ε(σ3) = ε(σ31)ε(σ32)ε(σ33) = (−1)3(−1)2(−1)3 = 1 Pour d´ ecomposer σi en produit de transpositions, partons de sa d´ ecomposition en cycles et utilisons la formule : (i1, . . . , ip) = (i1, ip)(i1, ip−1). . . ..(i1, i3)(i1, i2) : σ1 = (1, 6)(1, 4)(1, 3)(2, 5) σ2 = (1, 8)(1, 7)(1, 4)(2, 5)(2, 6)(3, 9) σ3 = (1, 4)(1, 2)(1, 3)(5, 8)(5, 11)(6, 12)(6, 9)(6, 7) Pour calculer σn, nous effectuons la division euclienne de n par l’ordre p de σ : il existe un entier q et un entier r tel que 0 ≤r < p et n = pq + r. alors σn = (σp)qσr = σr ; ainsi : σ45 1 = σ5.8+5 = σ5 = σ5 11σ5 12 = σ1.4+1 11 σ2.2+1 12 = σ1 11σ1 12 == σ11σ12 Exercice 4. 4.1. Construire la table de multiplication du groupe sym´ etrique S3. D´ eterminer les sous-groupes de S3 d’ordre 2 et d’ordre 3. Lesquels sont normaux ? Correction 4. Voici la liste des ´ el´ ements de S3 : e, σ1 = (1, 2, 3), σ2 = (1, 3, 2), τ1 = (2, 3), τ2 = (1, 3), τ3 = (1, 2) Et voici la table de multiplication de S3 : ↷ e σ1 σ2 τ1 τ2 τ3 e e σ1 σ2 τ1 τ2 τ3 σ1 uploads/s3/ 08-mp-1-alg-3.pdf

Tags
Administrationc’est sous-groupe d’ordre alors engendr´
Documents similaires
  • 44
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager