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34 CHAPITRE 3 LES COMPOSANTES SYMETRIQUES 3.1 Introduction La méthode des compo

34 CHAPITRE 3 LES COMPOSANTES SYMETRIQUES 3.1 Introduction La méthode des composantes symétriques a été développée pour la première fois en 1918 par L.C.Fortescue. C'est une technique très puissante pour l'analyse des systèmes triphasés déséquilibrés. Cette méthode définit une transformation linéaire des composantes de phase en un nouveau système de composantes dites ''composantes symétriques''. L'avantage de cette méthode est que pour les réseaux équilibrés triphasés, les circuits équivalents obtenus des composantes symétriques appelés ''schémas équivalents des séquences '', sont séparés en trois circuits indépendants non couplés. Nous verrons par la suite, que pour les réseaux triphasés déséquilibrés, les trois circuits des séquences sont reliés entre eux uniquement au point de déséquilibre. Cela a pour conséquence de rendre assez simple et aisée l'analyse de nombreux problèmes des réseaux triphasés déséquilibrés. Par ailleurs, cette méthode n'est autre qu'une technique de modélisation permettant l'analyse systématique et la conception des réseaux électriques triphasés. Le fait de découpler un réseau triphasé détaillé en trois réseaux simples des séquences, permet d'exprimer en termes beaucoup plus simples des phénomènes complexes. 3.2 Définition des composantes symétriques Considérons un système triphasé de tensions a V b V c V déséquilibrées, en concordance avec Fortescue. Ces phaseurs tension sont convertis en trois systèmes de composantes comme suit (voir figure 3.1) :  Les composantes de séquence homopolaire qui consistent en un système de trois phaseurs de même amplitude et de déphasage nul.  Les composantes de séquence directe qui consistent en un système de trois phaseurs de même amplitude et déphasés entre eux de 120  et de séquence abc.  Les composantes de séquence inverse qui consistent en un système de trois phaseurs de même amplitude et déphasés entre eux de 120  et de séquence acb. Chapitre 3 Les composantes symétriques 35 a) Composantes de séquence b) Composantes de séquence c) Composantes de séquence homopolaire directe inverse Fig. 3.1 conversion d'un système triphasé déséquilibré en composantes symétriques Nous utiliserons tout le long de ce chapitre la phase A comme phase de référence. Aussi pour des raisons de simplicité nous omettrons l'indice a dans les expressions symétriques que nous noterons simplement avec les indices h, d et i, comme pour les tensions: h V , d V et i V . Ces grandeurs sont définies par la transformation suivante: 2 2 1 1 1 1 1 a h b d c i V V V a a V V a a V                                    (3.1) et 0 1 3 1 120 2 2 a j     (3.2) Réécrivons le système d'équations (3.1) en trois équations distinctes : a h d i V V V V    (3.3) 2 b h d i V V a V aV    (3.4) 2 c h d i V V aV a V    (3.5) ai i V V  ci V bi V bd V ad d V V  cd V ah h V V  bh V ch V g) système triphasé déséquilibré e) phase B b V a V c V c V ci V ch V cd V bi V bd V bh V b V ah V ad V ai V d) phase A f) phase C Chapitre 3 Les composantes symétriques 36 L'opérateur a est un nombre complexe d'amplitude 1 et de 120° de déphasage. Si on multiplie par a tout phaseur, cela entraîne une rotation de 120° de ce phaseur, dans le sens contraire des aiguilles d'une montre. Le produit par a2 de la même manière entraîne une rotation de 240°. Voici les principales identités utilisant l'opérateur a : a4 = a =1 120° a2 – a = 3 270° a2 = 1 240° ja = 1 210° a3 = 1 0° 1+a = –a2 = 1 60° 1+a +a2 = 0 1+a2 =–a=1 –60° 1 – a = 3 –30° a+a2 =–1=1 180° 1 – a2 = 3 30° Le système d'équations (3.1) peut être écrit de manière plus compacte en définissant les vecteurs suivants: Vp vecteur des phaseurs tensions : b p Va V V Vc             (3.7) Vs vecteurs des composantes symétriques : h d s i V V V V             (3.8) A matrice de transformation : 2 2 1 1 1 1 1 A a a a a           (3.9) L'inverse de la matrice de transformation A est : 1 2 2 1 1 1 1 1 3 1 A a a a a             (3.10) La matrice A-1 de la relation (3.10) peut être vérifiée en effectuant le produit A A-1 qui doit être égal à la matrice identité. Aussi en multipliant la relation (3.9) par A-1 nous obtenons: Chapitre 3 Les composantes symétriques 37 1 1 1 p s s p A V A AV V A V      (3.11) A l'aide des relations (3.6), (3.7) et (3.10), l'équation (3.11) devient: 2 2 1 1 1 1 1 3 1 h a d b i c V V V = a a V V a a V                                   (3.12) Réécrivons l’équation (3.12) en trois équations indépendantes:   1 3 C h a b V V V V    (3.13)   2 1 3 C d a b V V aV a V    (3.14)   2 1 3 C i a b V V a V aV    (3.15) Nous remarquons à partir de l'équation (3.13) qu'il n'y a pas de tension homopolaire pour un système triphasé équilibré, car la somme des phaseurs équilibrés est nulle. Dans un système triphasé déséquilibré la transformation en composantes symétriques des tensions simples donne toujours lieu à l'existence de la composante homopolaire. Par contre, celle des tensions composées ne donne jamais lieu à l'existence de la composante homopolaire, car par l'application de la loi des mailles de Kirchhoff, leur somme est nulle. De la même manière, la transformation en composantes symétriques s'applique aux courants: p s I AI  (3.16) où Ip est le vecteur des phaseurs courants et Is le vecteur des composantes symétriques : a b p c I I I I             (3.17) h d s i I I I I             (3.18) Nous avons aussi 1 s p I A I   (3.19) Les équations (3.16) et (3.19) peuvent être réécrites sous forme de trois équations indépendantes de la manière suivantes : Chapitre 3 Les composantes symétriques 38 courants de phases : a h d i I I I I    (3.20) 2 b h d i I I a I aI    (3.21) 2 c h d i I I aI a I    (3.22) courants par composantes symétriques:   1 3 C h a b I I I I    (3.23)   2 1 3 C d a b I I aI a I    (3.24)   2 1 3 C i a b I I a I aI    (3.25) Dans un système triphasé relié en étoile, le courant de neutre n I est la somme des courants de ligne a c n b I I I I    (3.26) En comparant les relations (3.26) et (3.23), nous obtenons: 3 n h I I  (3.27) Le courant du neutre vaut trois fois le courant homopolaire. Dans un système équilibré triphasé relié en étoile les courantes de lignes n'ont pas de composantes homopolaire, puisque le courant de neutre est nul. Il en découle, que pour tout système triphasé sans neutre (par exemple, triangle ou étoile sans conducteur de neutre), les courants de lignes n'ont pas de composantes homopolaires. 3.3 Transformation des impédances des charges en composantes symétriques La figure 3.2 ci-dessous représente une charge triphasée équilibrée reliée en étoile et dont l'impédance par phase est notée y Z , le neutre de cette charge étant relié à la terre au travers d'une impédance n Z . Fig.3.2 Charge équilibrée reliée en étoile b I n n Z t b y Z y Z y Z c a bt V c I a I at V ct V Chapitre 3 Les composantes symétriques 39 Selon la uploads/s3/ lecture-4-1-composantes-symetriques-f.pdf