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Licence de math´ ematiques Cours d’Alg` ebre 2 2012–2013 Luis Paris 1 Formes bi

Licence de math´ ematiques Cours d’Alg` ebre 2 2012–2013 Luis Paris 1 Formes bilin´ eaires et formes sym´ etriques 1.1 Formes bilin´ eaires sym´ etriques Dans ce chapitre K d´ esignera le corps Q des nombres rationnels, le corps R des nombres r´ eels, ou le corps C des nombres complexes. D´ eﬁnition. Soit E un espace vectoriel sur K. On appelle forme bilin´ eaire sur E une application b de E × E dans K telle que (a) b(x1 + λ x2, y) = b(x1, y) + λ b(x2, y) pour tous x1, x2, y ∈E et λ ∈K ; (b) b(x, y1 + λ y2) = b(x, y1) + λ b(x, y2) pour tous x, y1, y2 ∈E et λ ∈K. On dit que cette forme est sym´ etrique si, de plus, (c) b(x, y) = b(y, x) pour tous x, y ∈E. Exemple 1. Posons E = Rn. Soit b : E × E →R d´ eﬁnie par b((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) = x1y1 + · · · + xnyn . Alors b est une forme bilin´ eaire sym´ etrique sur E. Exemple 2. Soit E = R3. Soit b : E × E →R l’application d´ eﬁnie par b((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = x1y2 −2x2y2 . Alors b est une forme bilin´ eaire sym´ etrique. Exemple 3. Soit E = C0([0, 1]) l’espace des applications continues de l’intervalle [0, 1] dans R. Soit b : E × E →R d´ eﬁnie par b(f, g) = Z 1 0 f(t)g(t) dt . Alors b est une forme bilin´ eaire sym´ etrique. 1 Exemple 4. Soit E = Mn(K) l’espace des matrices carr´ ees ` a n lignes et n colonnes. Soit b : E × E →K d´ eﬁnie par b(A, B) = Tr(AB) . Alors b est une forme bilin´ eaire sym´ etrique sur E. Exemple 5. Soient E un espace vectoriel et ℓ1, ℓ2 : E →K deux formes lin´ eaires. Soit b : E × E →K d´ eﬁnie par b(u, v) = ℓ1(u) ℓ2(v) . Alors b est une forme bilin´ eaire. Elle n’est pas en g´ en´ eral sym´ etrique. D´ eﬁnition. On suppose que E est de dimension ﬁnie, n. Soient b une forme bilin´ eaire sur E et B = {e1, . . . , en} une base (ordonn´ ee) de E. On appelle matrice de b dans B la matrice MB(b) = (b(ei, ej))1≤i,j≤n ∈Mn(K) . Exemple. Soient E = R3 et b : E × E →R d´ eﬁnie par b((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = x1y1 −2x1y2 + 3x3y3 . Alors b est une forme bilin´ eaire sym´ etrique et sa matrice dans la base canonique est   1 −2 0 −2 0 0 0 0 3  . Lemme 1.1. Soient b : E ×E →K une forme bilin´ eaire, B une base de E et M = MB(b) la matrice de b dans la base B. Soient x, y ∈E et X, Y les composantes de x, y dans la base B, respectivement. Alors b(x, y) = XtMY . D´ emonstration. On pose B = {e1, . . . , en}, M = (ai,j)1≤i,j≤n, X =    x1 . . . xn   et Y =    y1 . . . yn   . On a ai,j = b(ei, ej) pour tous i, j ∈{1, . . . , n}, x = Pn i=1 xiei et y = Pn i=1 yiei. Alors b(x, y) = b n X i=1 xiei, n X j=1 yjej ! = n X i=1 n X j=1 xi b(ei, ej) yj = n X i=1 n X j=1 xi ai,j yj = XtMY . 2 D´ eﬁnition. Une matrice carr´ ee M ∈Mn(K) est sym´ etrique si M t = M. Lemme 1.2. Soient b : E ×E →K une forme bilin´ eaire, B une base de E et M = MB(b) la matrice de b dans la base B. Alors b est sym´ etrique si et seulement si M est sym´ etrique. D´ emonstration. On pose B = {e1, . . . , en} et M = (ai,j)1≤i,j≤n. Supposons que b est sym´ etrique. Alors, pour tous i, j ∈{1, . . . , n}, on a ai,j = b(ei, ej) = b(ej, ei) = aj,i, donc M est sym´ etrique. Supposons que M est sym´ etrique. Soient x, y ∈E et X, Y les composantes de x, y dans la base B, respectivement. Alors b(x, y) = b(x, y)t = (XtMY )t = Y tM tX = Y tMX = b(y, x) . Ceci montre que b est sym´ etrique. D´ eﬁnition. Soient b1, b2 deux formes bilin´ eaires. La somme de b1 et b2, not´ ee b1 + b2, est la forme bilin´ eaire sur E d´ eﬁnie par (b1 + b2)(x, y) = b1(x, y) + b2(x, y) . Soient b une forme bilin´ eaire sur E et λ ∈K. Le produit de b par λ, not´ e λ b est la forme bilin´ eaire sur E d´ eﬁnie par (λ b)(x, y) = λ b(x, y) . On note L2(E) l’ensemble des formes bilin´ eaires sur E. On v´ eriﬁe facilement que L2(E) muni de la somme et la multiplication est un espace vectoriel sur K. Proposition 1.3. Soit E un espace vectoriel de dimension n. (1) L’espace L2(E) des formes bilin´ eaires sur E est de dimension n2. (2) L’ensemble S2(E) des formes bilin´ eaires sym´ etriques est un sous-espace vectoriel de dimension n(n+1) 2 . D´ emonstration. On se donne une base B = {e1, . . . , en} de E. Pour i, j ∈{1, . . . , n}, on note Di,j la matrice dont le coeﬃcient ` a la i-` eme ligne et j-` eme colonne est 1 et dont tous les autres coeﬃcients sont nuls. Remarquez que, si M = (ai,j) ∈Mn(K), alors M = Pn i=1 Pn j=1 ai,jDi,j. Pour tous i, j ∈{1, . . . , n}, on note δi,j la forme bilin´ eaire telle que MB(δi,j) = Di,j. Soient x, y ∈E et X, Y les composantes de x, y dans la base B, respectivement. Alors δi,j(x, y) = XtDi,jY . On va montrer que {δi,j | i, j ∈{1, . . . , n}} est une base de L2(E). Ceci implique que L2(E) est de dimension n2. 3 Soit b ∈L2(E). Soit M = (ai,j) la matrice de b dans la base B. Soient x, y ∈E et X, Y les composantes de x, y dans la base B, respectivement. Alors b(x, y) = XtMY = Xt n X i=1 n X j=1 ai,jDi,j ! Y = n X i=1 n X j=1 ai,jXtDi,jY = n X i=1 n X j=1 ai,jδi,j(x, y) . Ceci implique que b = n X i=1 n X j=1 ai,jδi,j . On se donne une collection {ai,j | i, j ∈{1, . . . , n}} de scalaires et on suppose que n X i=1 n X j=1 ai,jδi,j = 0 On observe que, pour i, j, k, ℓ∈{1, . . . , n}, on a δi,j(ek, eℓ) = 1 si (i, j) = (k, l) 0 sinon Alors, pour k, ℓ∈{1, . . . , n} on a 0 = n X i=1 n X j=1 ai,jδi,j ! (ek, eℓ) = n X i=1 n X j=1 ai,jδi,j(ek, eℓ) = ak,ℓ. Soit Π : L2(E) →L2(E) l’application d´ eﬁnie par Π(b)(x, y) = 1 2(b(x, y) + b(y, x)) . On v´ eriﬁe facilement que Π est une application lin´ eaire. De plus, on a Π(b) ∈S2(E) pour tout b ∈L2(E) et Π(b) = b pour tout b ∈S2(E). Ceci montre que Π est une projection lin´ eaire et S2(E) = Im(Π). En particulier, S2(E) est un sous-espace vectoriel de L2(E). Pour i, j ∈{1, . . . , n}, i < j, on pose ˜ δi,j = 1 2(δi,j + δj,i). On pose ˜ BS = {δi,i | 1 ≤i ≤ n} ∪{˜ δi,j | 1 ≤i < j ≤n}. On a Π(δi,i) = δi,i pour 1 ≤i ≤n Π(δi,j) = ˜ δi,j pour 1 ≤i < j ≤n Π(δj,i) = ˜ δi,j pour 1 ≤i < j ≤n 4 Comme {δi,j | 1 ≤i, j ≤n} engendre L2(E), ces ´ egalit´ es impliquent que ˜ BS engendre S2(E). On v´ eriﬁe facilement que ˜ BS est libre. Donc, ˜ BS est une base de S2(E) et la dimension de S2(E) est | ˜ BS| = n(n+1) 2 . Exemple. On pose E = R2 et on note B la base canonique de E. Alors L2(E) est de dimension 4. La base de L2(E) est donn´ ee par les formes bilin´ eaires suivantes. δ1,1 : ((x1, x2), (y1, y2)) 7→x1y1 δ1,2 : ((x1, x2), (y1, y2)) 7→x1y2 δ2,1 : ((x1, x2), (y1, y2)) 7→x2y1 δ2,2 : ((x1, uploads/s3/ lecture-notes-luis-paris-licence-de-mathematiques-cours-d-x27-algebre-2-2012-2013-2013.pdf