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COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP Mathématiques L3M1 Des équations différentielles au

COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP Mathématiques L3M1 Des équations différentielles aux systèmes dynamiques I THEORIE ELEMENTAIRE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES AVEC ÉLÉMENTS DE TOPOLOGIE DIFFÉRENTIELLE lEDPl S C IE N C E S DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES AUX SYSTÈMES DYNAMIQUES Tome 1 Théorie élémentaire des équations différentielles avec éléments de topologie différentielle ES Robert Roussarie et Jean Roux Collection dirigée par Daniel Guin SCIENCES 17, avenue du Hoggar Parc d’activités de Courtabœuf, BP 112 91944 Les Ulis Cedex A, France Illustration de couverture : La formule est Texpression de la différentielle d’une application dans un cas particulier. La figure est une illustration du théorème de Poincaré-Bendixson, avec le comportement en spirale de l’orbite par un point x non récurrent du champ. Imprimé en France IS B N : 978-2-7598-0512-9 Tous droits d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute re production ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35. © 2 01 2 , E D P Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf, 91944 Les Ulis Cedex A Impression & brochage sepec - France Numéro d'impression : 04545111250 - Dépôt légal : décembre 2011 ^IM P R IM ’VERT* TABLE DES M ATIERES Avant-Propos vil I Éléments de topologie différentielle 1 1 Préliminaires de calcul différentiel 3 1.1 Différentielle....................................................................................... 3 1.1.1 D éfinitions...................................................................... 3 1.1.2 Expressions de la différentielle.................................. 7 1.1.3 Composition des différentielles.................................. 9 1.2 Formule des accroissements fin is .................................................... 10 1.3 Théorème de l’inverse, difféomorphisme....................................... 10 1.4 Théorème des fonctions im plicites................................................ 14 2 Variétés et sous-variétés 19 2.1 Variétés différentiables .................................................................... 19 2.1.1 D éfinitions...................................................................... 20 2.1.2 Topologie quotient......................................................... 22 2.1.3 Exemples de variétés...................................................... 23 2.1.4 Difféomorphisme entre variétés.................................. 27 2.2 Sous-variété d’un ouvert de ....................................................... 30 2.2.1 Codimension. Sous-espaces vectoriels transverses . . . 30 2.2.2 Définition d’une sous-variété d’un ouvert de R’^ . . . . 31 2.2.3 Premiers exemples de sous-variétés............................ 33 2.2.4 Espace tangent en un point d’une sous-variété . . . . 34 2.3 Valeur régulière d’application différentiable................................ 35 2.3.1 Équation cartésienne d’une sous-variété.................. 35 2.3.2 Existe-t-il beaucoup de valeurs régulières ? ............... 38 2.4 Compléments sur les variétés........................................................... 42 2.4.1 Espace tangent à une va riété.......................................... 42 2.4.2 Plongement, immersion, subm ersion............................. 44 2.4.3 Distance sur une variété.................................................... 48 2.4.4 Transversalité .................................................................... 51 3 Points singuliers de fonctions 57 3.1 Dérivées partielles d’ordre supérieur............................................. 57 3.1.1 Définitions, notations et propriétés de b a s e .................. 57 3.1.2 Approximation de / au voisinage d’un p o i n t ............. 58 3.2 Points singuliers d’une fonction sur un ouvert............................. 61 3.2.1 Extremums.......................................................................... 61 3.2.2 Rappels sur les formes quadratiques............................. 62 3.2.3 Condition suffisante d’extrém alité................................ 64 3.3 Point singulier d’une fonction sur une sous-variété................... 74 3.3.1 Définitions et exem p les.................................................... 74 3.3.2 Multiplicateurs de Lagrange .......................................... 77 3.3.3 Le cas de la codimension 1 ............................................. 78 II Théorie élémentaire des équations différentielles 81 1 Généralités 83 1.1 Définition des champs de vecteu rs................................................. 83 1.2 Image d’un champ par un difféomorphisme................................ 85 1.3 Équation différentielle d’un champ de vecteurs.......................... 87 1.4 Équations différentielles générales................................................ 89 2 Champs de vecteurs linéaires 93 2.1 Étude théorique................................................................................. 93 2.2 Résolution exp licite.............................................................................100 2.3 Les champs linéaires de vecteurs de ......................................... 107 3 Propriétés générales des trajectoires 111 3.1 Le principe du point f i x e ................................................................... 111 3.2 Existence et unicité locales des trajectoires...................................113 3.3 Flot d’un champ de vecteu rs.............................................................118 3.3.1 Trajectoire m a xim a le..........................................................118 3.3.2 Propriétés différentiables du f i o t ...................................... 121 3.3.3 Groupe à 1-paramètre..........................................................123 3.3.4 Équivalence à des champs de vecteurs à fiot complet 127 3.3.5 Exemples de flots ................................................................132 Des équations différentielles aux systèmes dynamiques IV Table des matières 4 Analyse qualitative des trajectoires 135 4.1 Champ sur une variété, intégrale première ...................................135 4.2 Type topologique des trajectoires ................................................... 139 4.3 Théorème du voisinage tubulaire...................................................... 142 4.4 Indice des points singuliers isolés...................................................... 148 5 Récurrence 159 5.1 Propriétés des ensembles lim ites...................................................... 160 5.2 Orbites récurrentes ............................................................................. 164 5.3 Récurrence pour les champs de vecteurs d’un ouvert de la sphère ...................... 171 5.3.1 Préambule : le théorème de Jordan...................................172 5.3.2 Théorème de Poincaré-Bendixson ...................................179 5.3.3 Applications du théorème de Poincaré-Bendixson . . . 181 5.3.4 Vers la théorie de Poincaré-Bendixson............................ 184 6 Orbites et champs périodiques 187 6.1 Orbites périodiques.............................................................................188 6.2 Section globale, suspension................................................................ 197 6.2.1 Section globale pour un champ de v ecteu rs...................197 6.2.2 Suspension d’un difféomorphisme...................................... 198 6.3 Champs de vecteurs périodiques...................................................... 204 7 Stabilité des trajectoires 213 7.1 Stabilité d’un point singulier d’un champ de v e cte u rs............... 214 7.1.1 Différents types de stabilité................................................215 7.1.2 Théorèmes de stabilité......................................................... 219 7.2 Stabilité d’une orbite périodique...................................................... 229 7.2.1 Différents types de stabilité pour une orbite périodique .............................................................................229 7.2.2 Différents types de stabilité pour un point fixe de difféomorphisme .............................................................231 7.2.3 Relation entre la stabilité d’une orbite périodique et celle de ses applications de Poincaré .........................232 7.2.4 Théorèmes de stabilité......................................................... 234 Bibliographie 239 Index 241 AVAN T-PRO PO S La motivation initiale de cet ouvrage a été la transcription de cours donnés oralement aux ingénieurs de la direction des Études et Recherches d’EDF. Depuis la première mouture du texte, la maturation a été longue mais, citons Héraclite (cinquième siècle avant notre ère), « Le temps est un enfant qui joue, en déplaçant les pions ». Ces cours proposaient une introduction au calcul différentiel, quelques éléments de la théorie qualitative des équations différentielles et quelques prolon gements sur des idées plus récentes concernant les systèmes dynamiques. Lorsqu’il a été question de passer de l’exposé oral à une version écrite, il est apparu qu’il serait bon d’en étoffer le contenu. Pour ce faire, nous avons utilisé la matière d’un autre cours consacré aux équations différentielles, non publié jusqu’alors et enseigné par le premier auteur au niveau de la licence de Mathématique à l’uni versité de Bourgogne. Dans l’intention de rendre le contenu plus autonome, nous avons aussi décidé d’y adjoindre des prérequis sur le calcul différentiel ainsi que des notions plus avancées de topologie différentielle. Les quelques aperçus sur les systèmes dynamiques présentés lors des premiers cours oraux ont alors pu être développés en une introduction plus conséquente à ce vaste sujet. Nous sommes ainsi arrivés à un ouvrage structuré en deux tomes, avec comme idée directrice de faire en sorte que le texte se suffise à lui-même et soit le plus progressif possible. L’ensemble peut se lire et s’utiliser à plusieurs niveaux. On peut se limiter au tome 1, comportant deux parties (I, II), pour trouver un cours classique sur les équations différentielles, abordable dans le cadre de la licence de Mathématique, ou une initiation à des notions de base indispensables aux applications. Le tome 1 permet de rendre cette initiation autonome, indépendante d’une formation universitaire en Mathématique. Le tome 2 est une ouverture vers la théorie moderne des systèmes dynamiques. Il peut être utilisé dans le cadre d’un master de Mathématique ou de Physique. Il peut aussi être employé avec profit par toute personne cherchant des compléments sur certains aspects récents de la théorie des systèmes dynamiques. Comme il est dit plus haut, la partie I, assez courte, est consacrée à des pré requis de calcul différentiel et de topologie différentielle. Cette partie ne contient pas de longs développements ; on y trouvera peu de démonstrations. On se contente d’y définir les termes et notions de base utilisés par la suite, concer nant aussi bien le calcul différentiel dans un espace euclidien (différentielle d’une application, développement limité, formules de Taylor, étude d’une fonction au voisinage d’un point critique) que la topologie différentielle (variétés, espace tan gent, plongements), cadre naturel pour développer la théorie des systèmes dyna miques et même celle des simples équations différentielles. Illustrons notre propos. Un système différentiel défini dans, un espace euclidien, mais astreint à laisser inva riantes des intégrales premières, (par exemple un système mécanique intégrable), va se restreindre à des sous-variétés de cet espace euclidien (par exemple à des sphères). De même, un système bi-périodique dans le plan s’étudie au mieux s’il est considéré comme un système sur le tore T^. Il est donc important de pouvoir disposer du langage de base de la topologie différentielle. Dans cette partie, on a aussi introduit le théorème de Sard, car celui-ci sert en particulier de base à la notion de propriété générique, notion indispensable pour la théorie des systèmes dynamiques. La partie II uploads/s3/ des-equations-differentielles-aux-systemes-dynamiques-i-collection-enseignement-sup-mathematiques.pdf