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Introduction Les formes quadratiques sur un corps quelconque F Les formes quadr

Introduction Les formes quadratiques sur un corps quelconque F Les formes quadratiques sur les corps R et C Les formes quadratiques sur les corps Q et Qp Conclusion Les formes quadratiques sur les corps OUAHBI TOURIA - LOTFI HABIBA 2018 - 2019 1/26 OUAHBI TOURIA - LOTFI HABIBA Faculté des Sciences et Techniques - Settat Introduction Les formes quadratiques sur un corps quelconque F Les formes quadratiques sur les corps R et C Les formes quadratiques sur les corps Q et Qp Conclusion Plan de l’exposé 1 Introduction 2 Les formes quadratiques sur un corps quelconque F Les théorèmes de Witt Anneau de Witt et classiﬁcation Le théorème de Springer 3 Les formes quadratiques sur les corps R et C Classiﬁcation sur C Classiﬁcation sur R 4 Les formes quadratiques sur les corps Q et Qp Classiﬁcation sur Qp Classiﬁcation sur Q 5 Conclusion 2/26 OUAHBI TOURIA - LOTFI HABIBA Faculté des Sciences et Techniques - Settat Introduction Les formes quadratiques sur un corps quelconque F Les formes quadratiques sur les corps R et C Les formes quadratiques sur les corps Q et Qp Conclusion 1 Introduction 2 Les formes quadratiques sur un corps quelconque F Les théorèmes de Witt Anneau de Witt et classiﬁcation Le théorème de Springer 3 Les formes quadratiques sur les corps R et C Classiﬁcation sur C Classiﬁcation sur R 4 Les formes quadratiques sur les corps Q et Qp Classiﬁcation sur Qp Classiﬁcation sur Q 5 Conclusion 3/26 OUAHBI TOURIA - LOTFI HABIBA Faculté des Sciences et Techniques - Settat Introduction Les formes quadratiques sur un corps quelconque F Les formes quadratiques sur les corps R et C Les formes quadratiques sur les corps Q et Qp Conclusion Introduction Le but général de ce travail est de faire une classiﬁcation des formes quadratiques non dégénérées sur les corps R, C, Q, Qp et F : un corps quelconque de caractéristique ̸= 2. 4/26 OUAHBI TOURIA - LOTFI HABIBA Faculté des Sciences et Techniques - Settat Introduction Les formes quadratiques sur un corps quelconque F Les formes quadratiques sur les corps R et C Les formes quadratiques sur les corps Q et Qp Conclusion Les théorèmes de Witt Anneau de Witt et classiﬁcation Le théorème de Springer 1 Introduction 2 Les formes quadratiques sur un corps quelconque F Les théorèmes de Witt Anneau de Witt et classiﬁcation Le théorème de Springer 3 Les formes quadratiques sur les corps R et C Classiﬁcation sur C Classiﬁcation sur R 4 Les formes quadratiques sur les corps Q et Qp Classiﬁcation sur Qp Classiﬁcation sur Q 5 Conclusion 5/26 OUAHBI TOURIA - LOTFI HABIBA Faculté des Sciences et Techniques - Settat Introduction Les formes quadratiques sur un corps quelconque F Les formes quadratiques sur les corps R et C Les formes quadratiques sur les corps Q et Qp Conclusion Les théorèmes de Witt Anneau de Witt et classiﬁcation Le théorème de Springer Qu’est-ce qu’une forme quadratique ? En mathématique, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré 2 avec un nombre quelconque de variables. déﬁnition Soit K un corps quelconque, on suppose que caract (K)̸=2. on appelle forme quadratique sur E toute application q : E − →K vériﬁant : q(λx) = λ2q(x) ∀x ∈E, ∀λ ∈K. b déﬁnie par b(x, y) = 1 2 [q(x + y) −q(x) −q(y)] est une forme bilinéaire symétrique sur E. ( b s’appelle la forme polaire de q ). 6/26 OUAHBI TOURIA - LOTFI HABIBA Faculté des Sciences et Techniques - Settat Introduction Les formes quadratiques sur un corps quelconque F Les formes quadratiques sur les corps R et C Les formes quadratiques sur les corps Q et Qp Conclusion Les théorèmes de Witt Anneau de Witt et classiﬁcation Le théorème de Springer Qu’est-ce qu’une forme quadratique ? En mathématique, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré 2 avec un nombre quelconque de variables. déﬁnition Soit K un corps quelconque, on suppose que caract (K)̸=2. on appelle forme quadratique sur E toute application q : E − →K vériﬁant : q(λx) = λ2q(x) ∀x ∈E, ∀λ ∈K. b déﬁnie par b(x, y) = 1 2 [q(x + y) −q(x) −q(y)] est une forme bilinéaire symétrique sur E. ( b s’appelle la forme polaire de q ). 6/26 OUAHBI TOURIA - LOTFI HABIBA Faculté des Sciences et Techniques - Settat Introduction Les formes quadratiques sur un corps quelconque F Les formes quadratiques sur les corps R et C Les formes quadratiques sur les corps Q et Qp Conclusion Les théorèmes de Witt Anneau de Witt et classiﬁcation Le théorème de Springer Qu’est-ce qu’une forme quadratique ? En mathématique, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré 2 avec un nombre quelconque de variables. déﬁnition Soit K un corps quelconque, on suppose que caract (K)̸=2. on appelle forme quadratique sur E toute application q : E − →K vériﬁant : q(λx) = λ2q(x) ∀x ∈E, ∀λ ∈K. b déﬁnie par b(x, y) = 1 2 [q(x + y) −q(x) −q(y)] est une forme bilinéaire symétrique sur E. ( b s’appelle la forme polaire de q ). 6/26 OUAHBI TOURIA - LOTFI HABIBA Faculté des Sciences et Techniques - Settat Introduction Les formes quadratiques sur un corps quelconque F Les formes quadratiques sur les corps R et C Les formes quadratiques sur les corps Q et Qp Conclusion Les théorèmes de Witt Anneau de Witt et classiﬁcation Le théorème de Springer Quelque déﬁnitions Soit q une forme quadratique sur F. La forme quadratique q est dite non dégénérée si et seulement si ker q = {0}. x est dit isotrope si q(x) = 0. q est dite isotrope s’il existe un vecteur isotrope ̸= 0, anisotrope si elle n’est pas isotrope. On appelle plan hyperbolique, et on note H, la forme quadratique de dimension 2, d’espace vectoriel F 2, déﬁnie par q(x, y) = xy ((x, y) ∈F 2), et on a pour tout a ∈F ∗ H ≃⟨a, −a⟩. On dit qu’une forme h est hyperbolique si h ≃mH pour m convenable. 7/26 OUAHBI TOURIA - LOTFI HABIBA Faculté des Sciences et Techniques - Settat Introduction Les formes quadratiques sur un corps quelconque F Les formes quadratiques sur les corps R et C Les formes quadratiques sur les corps Q et Qp Conclusion Les théorèmes de Witt Anneau de Witt et classiﬁcation Le théorème de Springer Quelque déﬁnitions Soit q une forme quadratique sur F. La forme quadratique q est dite non dégénérée si et seulement si ker q = {0}. x est dit isotrope si q(x) = 0. q est dite isotrope s’il existe un vecteur isotrope ̸= 0, anisotrope si elle n’est pas isotrope. On appelle plan hyperbolique, et on note H, la forme quadratique de dimension 2, d’espace vectoriel F 2, déﬁnie par q(x, y) = xy ((x, y) ∈F 2), et on a pour tout a ∈F ∗ H ≃⟨a, −a⟩. On dit qu’une forme h est hyperbolique si h ≃mH pour m convenable. 7/26 OUAHBI TOURIA - LOTFI HABIBA Faculté des Sciences et Techniques - Settat Introduction Les formes quadratiques sur un corps quelconque F Les formes quadratiques sur les corps R et C Les formes quadratiques sur les corps Q et Qp Conclusion Les théorèmes de Witt Anneau de Witt et classiﬁcation Le théorème de Springer Quelque déﬁnitions Soit q une forme quadratique sur F. La forme quadratique q est dite non dégénérée si et seulement si ker q = {0}. x est dit isotrope si q(x) = 0. q est dite isotrope s’il existe un vecteur isotrope ̸= 0, anisotrope si elle n’est pas isotrope. On appelle plan hyperbolique, et on note H, la forme quadratique de dimension 2, d’espace vectoriel F 2, déﬁnie par q(x, y) = xy ((x, y) ∈F 2), et on a pour tout a ∈F ∗ H ≃⟨a, −a⟩. On dit qu’une forme h est hyperbolique si h ≃mH pour m convenable. 7/26 OUAHBI TOURIA - LOTFI HABIBA Faculté des Sciences et Techniques - Settat Introduction Les formes quadratiques sur un corps quelconque F Les formes quadratiques sur les corps R et C Les formes quadratiques sur les corps Q et Qp Conclusion Les théorèmes de Witt Anneau de Witt et classiﬁcation Le théorème de Springer Quelque déﬁnitions Soit q une forme quadratique sur F. La forme quadratique q est dite non dégénérée si et seulement si ker q = {0}. x est dit isotrope si q(x) = 0. q est dite isotrope s’il existe un vecteur isotrope ̸= 0, anisotrope si elle n’est pas isotrope. On appelle plan hyperbolique, et on note H, la forme quadratique de dimension 2, d’espace vectoriel F 2, déﬁnie par q(x, y) = xy ((x, y) ∈F 2), et on a pour tout a ∈F ∗ H ≃⟨a, −a⟩. On dit qu’une forme h est hyperbolique si h ≃mH pour m convenable. 7/26 OUAHBI TOURIA - LOTFI HABIBA Faculté des Sciences et Techniques - Settat Introduction Les formes quadratiques sur un corps quelconque F Les formes quadratiques sur les corps R uploads/s3/ presentation-de-pfe.pdf