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Université Cadi Ayyad Année Universitaire 2019-2020 Département de physique 18

Université Cadi Ayyad Année Universitaire 2019-2020 Département de physique 18 JANVIER 2020 Nom .......................... Prénom .......................... N° Apogée .......................... N° Table .......................... Note/20 .......................... Contrôle de Rattrapage de Mécanique Quantique section SMP S5-durée 2H Le contrôle se présente sous forme de feuille réponse. L'étudiant est tenu à répondre par le résultat final de ses calculs. La démonstration, si elle est demandée doit se faire de manière concise. Toute démonstration non demandée sera non comptabilisée dans la note. Exercice 1: Puits sphérique infini à 3 dimensions (11 points) Une particule libre de masse est confinée dans un puits sphérique de potentiel infiniment profond: 1- Donner l'Hamiltonien de la particule. Justifier le choix de la fonction d'onde . Ecrire l'équation radiale. On donne l'expression du Laplacien en coordonnées sphériques . L'hamiltonien ou le commutateur , (ou H est la somme d'une partie radiale et une partie angulaire qui commutent, ou toute autre explication équivalente), nous suggère de poser, d'après le théorème du produit tensoriel: 2- On pose . Donner l'équation différentielle de . ou 3- On pose , justifier le choix d'une énergie positive de cette forme. Avec les changements , , montrer que l'équation satisfaite par est de la forme : La particule est libre et possède de ce fait une énergie cinétique positive de la forme . 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Que l'on remplace dans la solution 3 pour obtenir l'équation Avec , on obtient: 4- Donner la forme générale de . En déduire celle de Comment est transformée si on tient compte de la condition de continuité à l'origine. Expliquer. On donne: les fonctions de Bessel sont solutions de l'équation différentielle suivante: ; réel positif. La solution générale est de la forme , A et B réels. comportement à l'origine : Condition de continuité: Le deuxième terme diverge pour et vaut B pour . Dans les deux cas la condition de continuité à l'origine est brisée. On posera alors . 5- Exprimer la fonction radiale en fonction des fonctions de Bessel . On donne 6- On tient compte maintenant de la condition de continuité de au point . Traduire cette condition sur la fonction de Bessel . Donner les énergies quantifiées pour . Justifier la similitude avec l'énergie d'une particule libre dans un puits de potentiel à une dimension. On donne . La condition de continuité au point : les énergies pour , , * 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 pour , on confond le Laplacien tridimensionnel avec une dérivée seconde à une dimension (ou l'hamiltonien est celui d'une particule libre dans un puits infini à une dimension, ou toute autre explication plausible) 7- Donner l'équation permettant de retrouver l'énergie pour . On donne . les énergies, pour 1, sont solutions de l'équation ou 8- 8- Faire une résolution graphique qualitative. En déduire que les énergies obtenues pour sont quantifiées. Reporter sur le même graphe la résolution de l'équation obtenue pour . Dites si les niveaux énergétiques pour sont systématiquement plus petits ou plus grands que ceux obtenus pour . Tracer qualitativement sur un diagramme énergétique les deux premiers niveaux pour et . Les solutions sont infinies et discrètes. Les énergies pour sont systématiquement plus grandes que celles obtenues pour . Exercice 2: Clivage hyperfin d'un atome Alcalin (9 points) On s'intéresse à l'éclatement énergétique du niveau fondamental d'un atome alcalin (comparable à l'atome hydrogène) par l'interaction magnétique entre le spin électronique et celui du noyau . 1- Quelle est la dégénérescence du niveau fondamental en tenant compte des spins? Niveau fondamental est fois dégénéré. 2- L'Hamiltonien d'interaction du niveau fondamental entre le moment magnétique électronique et celui du noyau est de la forme . On introduit les opérateurs et . Montrer que peut se mettre sous la forme 0.5 0. 5 0.5 diagramme énergétique 0.5 0.5 0.25 0.25 De sorte que et par suite 3- Dans la base découplée , ; , montrer, sans faire de calculs, que les états et sont états propres de avec les valeurs propres que l'on précisera. On rappelle que: . Sachant que et , on obtient directement et 4- Déterminer l'action de sur les états et , . 5- En déduire que la recherche des énergies propres de se ramène à la diagonalisation de matrices d'ordre 2 dont on précisera la forme. Donner les valeurs propres correspondantes . Valeurs propres 6- En déduire que éclate le niveau fondamental en deux niveaux et que l'on précisera. Donner la dégénérescence de chacun des niveaux. + est fois dégénéré 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 est dégénéré 7- Montrer que les états propres de sont états propres de , indiquer le spin S correspondant à chaque état. Dans la base couplée , , un état propre commun à de et S = --- S = --- 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0. 5 0. 5 0. 5 uploads/s3/ rattrapage-corrige-20.pdf