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chapitres 5 et 6 : ´ equation de droite - angle orient´ e - produit scalaire 7

chapitres 5 et 6 : ´ equation de droite - angle orient´ e - produit scalaire 7 avril 2019 Correction contrôle de mathématiques Du lundi 01 avril 2019 Exercice 1 Équations de droites (4 points) 1) a) Un vecteur directeur est ⃗ u (−2m ; 1 −m). b) Si ⃗ v (3 ; 2) est un vecteur directeur de (Dm) alors les vecteurs ⃗ u et ⃗ v sont colinéaires donc det(⃗ u , ⃗ v) = 0. det(⃗ u , ⃗ v) = 0 ⇔ −2m 3 1 −m 2 = 0 ⇔−4m −3 + 3m = 0 ⇔m = −3 2) a) Si la droite (Dm) passe par le point A(4 ; 1) alors les coordonnées de A vériﬁent son équation : 4(1−m)+2m−4m−2 = 0 ⇔4−4m+2m−4m−2 = 0 ⇔−6m = −2 ⇔m = 1 3 L’équation de la droite D 1 3 est : 1 −1 3 ! x + 2 3y −4 3 −2 = 0 ⇔ 2 3x + 2 3y −10 3 = 0 ×3 2 ⇔ x + y −5 = 0. b) On remplace les coordonnées de B dans l’équation de (Dm) : 2(1−m)+6m−4m−2 = 0 ⇔2−2m+6m−4m−2 = 0 ⇔0m = 0 toujours vrai. Toutes les droites (Dm) passe par le point B. Exercice 2 Angles orientés (2 points) 1) (− − − → BA ; − − − → BC ) = −π 6 2) De ACD équilatéral et ABC rectangle en A : (− − − → AD ; − − − → AB ) = (− − − → AD ; − − − → AC ) + (− − − → AC ; − − − → AB ) = −π 3 −π 2 = −5π 6 3) (− − − → DC ; − − − → AC ) = (−− − − → CD ; −− − − → CA ) = (− − − → CD ; − − − → CA ) = π 3 4) (− − − → DC ; − − − → AB ) = (− − − → DC ; − − − → DA ) + (− − − → DA ; − − − → AB ) = (− − − → DC ; − − − → DA ) + (−− − − → AD ; − − − → AB ) = (− − − → DC ; − − − → DA ) + (− − − → AD ; − − − → AB ) + π 2) = −π 3 −5π 6 + π = −π 6 5) (− − − → CA ; − − − → CB ) = (− − − → CA ; − − − → AB ) + (− − − → AB ; − − − → CB ) = (−− − − → AC ; − − − → AB ) + (−− − − → BA ; −− − − → BC ) = (− − − → AC ; − − − → AB ) + π + (− − − → BA ; − − − → BC ) = −π 2 + π −π 6 = π 3 paul milan 1 premi` ere s correction du contrˆ ole de math´ ematiques Exercice 3 Conversions et mesure principale (3 points) 1) α = 12 × π 180 = π 15 rd et β = 195 × π 180 = 13π 12 rd. 2) γ = 7π 12 × 180 π = 105˚ et δ = 13π 9 × 180 π = 260˚. 3) La mesure principale des angles suivants dont la mesure en radian est : a) −5π 3 = π 3 [2π] b) −5π = π [2π] c) −17π 6 = −5π 6 [2π] d) 29π 8 = −3π 8 [2π] Exercice 4 Lignes trigonométriques (6 points) 1)              x ∈ π 2 ; π ⇒cos x ⩽0 cos2 x = 1 −sin2 x = 1 −1 16 = 15 16 ⇔cos x = − √ 15 4 . 2)                x ∈ "π 6 ; 5π 6 # ⇒sin x > 0 sin2 x = 1 −cos2 x = 1 −9 25 = 16 25 ⇔cos x = 4 5. 3) cos 0 + cos π 4 + cos π 2 + cos 3π 4 + cos π = 1 + √ 2 2 + 0 − √ 2 2 −1 = 0. 4)              cos x = −1 2 sin x = − √ 3 2 ⇔ x = −2π 3 [2π] b 5) cos x = − √ 3 2 ⇔cos x = cos 5π 6 ⇔              x = 5π 6 + 2kπ x = −5π 6 + 2kπ , k ∈Z. 6) a) 4 1 2 !2 −2(1 + √ 3) × 1 2 + √ 3 = 4 4 −1 − √ 3 + √ 3 = 0. Donc X1 = 1 2 est solution de 4X2 −2(1 + √ 3)X + √ 3 = 0. La seconde solution est X2 = P X1 = √ 3 4 1 2 = √ 3 2 . paul milan 2 premi` ere s correction du contrˆ ole de math´ ematiques b) On pose X = sin x avec −1 ⩽X ⩽1. L’équation (E) devient alors : 4X2 −2(1 + √ 3)X + √ 3 = 0. Les deux solutions sont acceptables, on revient alors à x : sin x1 = 1 2 ⇔sin x1 = sin π 6 ⇔            x1 = π 6 + 2kπ x1 = 5π 6 + 2kπ , k ∈Z. sin x2 = √ 3 2 ⇔sin x1 = sin π 3 ⇔            x2 = π 3 + 2kπ x1 = 2π 3 + 2kπ , k ∈Z. Exercice 5 Produit scalaire (5 points) 1) a) − − − → AB · − − − → AC = 2 −1 m + 2 ! · 4 −1 2 −m + 2 ! = 1 m + 2 ! · 3 4 −m ! = 3 + (m + 2)(4 −m) = 3 + 4m −m2 + 8 −2m = −m2 + 2m + 11. b) Le triangle ABC est rectangle en A ssi − − − → AB · − − − → AC = 0. ∆= 4 + 44 = 48 ⇒m1 = −2 + √ 48 −2 = 1 −2 √ 3 et m2 = 1 + 2 √ 3. 2) On obtient la ﬁgure suivante : a) 1 2 3 −1 −2 −1 1 2 3 E F G O b) − − → EF · − − − → EG = −2 −1 −1 −3 ! · 3 −1 1 −3 ! = −3 −4 ! · 2 −2 ! = −6 + 8 = 2 c) En utilisant la déﬁnition projective : − − → EF · − − − → EG = EF × EG cos d FEG. On en déduit alors : cos d FEG = − − → EF · − − − → EG EF × EG . avec EF = p (−3)2 + (−4)2 = √ 25 = 5 et EG = p 22 + (−2)2 = √ 8 = 2 √ 2 Donc cos d FEG = 2 5 × 2 √ 2 = 1 5 √ 2 ⇔ d FEG = arccos 1 5 √ 2 ≈82˚. d) En faisant une permutation circulaire : E →G, F →E, G →F, On obtient : cos d EGF = − − − → GE · − − → GF GE × GF paul milan 3 premi` ere s correction du contrˆ ole de math´ ematiques − − − → GE · − − → GF = 1 −3 3 −1 ! · −2 −3 −1 −1 ! = −2 2 ! · −5 −2 ! = 10 −4 = 6 GE = 2 √ 2 et GF = p (−5)2 + (−2)2 = √ 29 Donc cos d EGF = 6 2 √ 2 × √ 29 = 3 √ 58 ⇔ d EGF = arccos 3 √ 58 ≈67˚. paul milan 4 premi` ere s uploads/S4/ 05-ctrle-01-04-2019-correction.pdf