QUAVO EXERCICES ET PnoDLEMES CHAPITrE I. GÉoMÉTUE AFFINE où f: EK" est l'applic
QUAVO EXERCICES ET PnoDLEMES CHAPITrE I. GÉoMÉTUE AFFINE où f: EK" est l'application linéairedont la matrice dans les bases (OA1.OA,), base de E, d'une part, aussi A'B = 2A'M). Et réciproquemeat (si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, celui-ci est un paralélogran1ne). base canonique de K", de l'autre, Exercice T.2. Soit F une partie d'un espace affine & dirigé par l'espace vectoriel E et soit A un point de F tel que es(F) soit un sous-espace vectoriel F de E. Montrer que, pour tout point B de F, on aSp(F) = F (Cest la propcsition I.2.5). est la matrice ai,1 *'* o1,n Exercice I.3. Par deux points (distincts) d'un espace affine passe une droite et une Cm,l * Om,n Les lecteurs sont invités à vérifier qu'ils ont compris en faisant r'exercice I.12. seule. Exercice l4. On considère un plan affine sur le corys 2/32. Combien at-il de points? de droites? combien chaque droite a-t-clle de points? Montrer que par chaque point, il passe quntre droites et quc pour ure direction donnée, il y a trois droites parallèles à cette direction. Applications affines Considérons maintenant une application affine : - E' et suppc.cns que l'espace affine & soit, lui aussi, muni d'un repère affine, noté (O,A...,Am): On représente les poiuts de E' par leurs coordonnées ( Tm). autant dire qu'on utilise, en plus de l'isomorphisme &- K", un isomorphisme E' K". A travers ces isomorphisnes, p devient une application affine Exercice l.5. Soient Fi et F2 deux sous-espaces affines d'un espace afine E. A quelle condition F1 UF; est-il un sous-espace afine ? Exercice I.6. Une partie F d'un espace afine est un sous-espace alfine si et seule ment si pour tous points A et B de F, on a l'inclusion (A, B) C F. K" K" dont nous savons (voir les exemples I3.4) qu'elle est de la forme « application linéaire plus constante>. C'est dire que les coordonnées (z., zm) de l'image (M) du point M de coordonnées (1,... ,Zn) sont données par Exercice 1.7. Dans un espace afine de dimension supérieure ou égale à 3, on consi- dêre n droites (n 2 2). On suppose que deux droites de cette famile ont toujours un point commun. Montrer que, soit toutes ces droites ont un point commun, soit elles sont coplanaires. T a1,171 +***+a1,nTn+b1 Exercice I.8 (Autour du « théorème des milieux»). Pour cet exercice, on se place Adans le cadre axiomatique. Plus précisément, on suppose qu'on ne connaft ai ls barycentres ni le théorème de Thalès. On sait, par contre, qu'un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu. am,1T1 +**+ am,nn t On Ls lectrices sont invitées è vérifier qu'elles ont bien compris cette écriture en essayant de changer de repêres (exercice 1.34) (1) Le théorème des milieux. Soit ABC un triangle et soient C" le milieu du côté AB, B' celui de AC. Soit M le point de B'C' tel que B soit le milieu de C'M. Que peut-on dire du quadrilatère AMCC ? du quadrilatère CMCB? Démontrer le théorème des milieux: Dans un triangle ABC, soit C le milieu de AB. Une droite passant par C est parallèle à BC si et seulement si elle passe par le milieu de AC. (2) Le centre de gravité. On considère le point d'intersection G des médianes CC' et BB', les points C" de CC' et B" de BB' tels que C soit le milieu de GC" et B' celui de GB". Montrer que les droites CB", AG et BC" sont paralleles. Montrer que'G est le milieu 'de CC" (on pourra considérer e triangle ACC") et de même que c'est le milieu de BB". Exercices et problèmes Espaces afines, sous-espaces affines Exercice 1.1. Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieut (si AA'B'B est un parallelogramne et si M vérife AB' = 2AM, alors il vérifie Si 7:-K°a7:E~ K" sont les norns des isomorphismes définis par les repères, cst. on que l'on décrit ici. Sivant l'exenple de [15). j'ai souvent omis les mots « Montrer que» dans la rédactión des énoncs. . 35 38 EXERCICES ET pRoBLÊMES CHAPITRE I. GEOMÉTRIE AFFINE Exercice l.15. A quelles conditions les deux systèmes d'équations Montrer que AG est la troisiène mcliane du triangle (on pourra considérer le triangle BB"C). En déduire que les trois médianes du triangle ABC sont concourantes en un point G situé aux deux-tiers de chacune d'elles en partant du sommet. (3) Equipollence. On dit que deux couples de points (ou « bipoints ») (4, B) et (A', B') sont équipollents si ABDC est un parallélogramme. Montrer que c'est une relation d'équivalence sur l'ensemble des couples de points. La classe d'équivalence de (A, B) est notée AB et s'appelle un vecteur. Mon- trer que la relation AC = AB + BC défnit une loi de composition interne sur l'ensemble des vecteurs.. et en fait un groupe. a1z +bhy + C1z 0 et = 0 a27 + bay + o2z =o décrivent-ils des droites vectorielles de K? la mème droite vectorielle de K*?| A quelles conditions les deux systèmes d'équations et 7+ 6y + : = a1T +b1y + C1Z = d1 a2T+bay+ C2z = d2 décrivent-ils des droites affines de K$? des droites affines paralltles de K? Exercice I.9. Les points Ap.... ,Ak sont affinement indépendants si et seulement si Applications affines Erercice I.16 (Un « truc» très utile). Soit f une application linéaire de E dans lui- même. On suppose que l'image par f de tout vecteur est un vecteur qui lui est colinéaire. Eerire cette hypothèse avec des symboles mathématiques et des quan- tiicateurs. Ecrire en termes analogues la définition d'une homothétie vectorielle. Comparer les deux écritures et démontrer que f est, quand même, une homothétie Vi ¬ {0,k}, A (A0.Ai-l, Ai+l, Ak). Erercice I.10. Les points Ao,., Ar sont afñnement indépendants si et seulement Si vie {1,.k}, A; (A,,, At-1). Vectorielle. Erercice I.Il. L'espace aff+ne est muni d'un repère aftine. Décrire par un système Exercice 1.17 (Projections). Soit D une droite d'un plan afññne P et soit d une direction de droite, non parallle à D. On appelle projection sur D paralèlemert àd l'application P P telle que M' = T(M) E D et MM' E d. Montrer que T est affine. Quelle est l'application linéaire associée ? SOit un sous-espace affine d'un espace) E, et soit G un sous-espace vectoriel de E tel que FeG = E. Définir une projection (afine) sur F paralldlemert à G. Soit T : 8 E une application afñine vérifiant n or = T. Montrer que T st une projection. d'equations paramétriques le sous-espace añine engendré par les points Bo,..., Bk Exercice L12. Soit A une matrice à m lignes et n colonnes à coefficients dans K et soit B un vecteur (colonne) de K". Soit F la partie de K" définie par F= {X ¬ K" | AX = B}. Expliquer pourquoi F est un sous-espace affine. Quelle est sa direction? Quand est-il vide ? Exprimer sa dimension à l'aide du rang r de la matrice A. Erercice L.13. Å quelles conditions les deux équations Exercice 1.18 (Le théorème de Thalès, en dimension quelconque) Dans un espace afine, on considère trois hyperplans parallèles H, H et H" ainsi que deux droites Di et Da dont aucune n'est contenue dans un hyperplan parallèle à H. Soient A; = D;n H, A = D;nH', Aj = D; nH". Mlontrer que a1T1++GnTn= b et az1t+a,Tn=6 décrivent-elles des hyperplans parallèles de KT? Exercice I.14. Soit E un espace affine de dimension 3 muni d'un repre afine. - Déterminer une équation cartésienne du plan passant par le point A = (1,0,1) dans la direction engendrée par les vecteurs u = (0,2,1) et u= (1,-1,0). Déterminer une équation cartésienne du plan parallèle au plan précédent et, contenant le point B = (0, 1,0). - Déterminer une équation cartésienne du plan parallèle au plan prétédent et AA A2A ' Dans ces exercices, une lettre romaine non définie (E, F.) designe toujours la direction de l'espace aftine désigne par la lettre ronde (E, F.) cormespondante passant þar le milieu de AB. 3 38 ExERCICES ET PROBLEMES CHAPITRE I. GÉOMÉTRIE AFFINE Exercice l.23. SoientE un espzce alñne de daension au mors égale i 2 e re application afñine & E telle qve l'inage de toute droite scit ne droite qui lui est parallele. Montrer que p est une translatioa oa ute bomothétie. Moetrer de plus que, si un point B de Di vérife Exercice 124. Une partie bornée d'un espace aine re peut avoir plas d'un cectre de symétrie. ors i e s H (« B = A). Soiect D et D deux droites cantes en A. Het H deux byperplans paralleles cOupazt D, ea Ai, A distincts de A. Montrer que Exercice I.25. Soit E un espace aine de dimension finie et soit : E- E une application afñne vérifant Im() = In(¢). (1) Montrer que pour tout M E E, il existe P e Eetu Ker) uploads/S4/ fiche-de-td-geometrie.pdf
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- Publié le Sep 30, 2022
- Catégorie Law / Droit
- Langue French
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