Planche no 6. Systèmes d’équations linéaires : corrigé Exercice no 1. 1) Soit (

Planche no 6. Systèmes d’équations linéaires : corrigé Exercice no 1. 1) Soit (x, y, z) ∈R3.    2x + 3y −z = 1 4x + y + 2z = 6 x −3y + z = 2 ⇔    z = 2x + 3y −1 4x + y + 2(2x + 3y −1) = 6 x −3y + (2x + 3y −1) = 2 ⇔    z = 2x + 3y −1 8x + 7y = 8 3x = 3 ⇔    x = 1 8 + 7y = 8 z = 2x + 3y −1 ⇔    x = 1 y = 0 z = 1 L’ensemble des solutions du système proposé est {(1, 0, 1)}. 2) Soit (x, y, z) ∈R3.    2x + y + z = 7 x + 2y + z = 8 x + y + 2z = 9 ⇔        2x + y + z = 7 x + 2y + z = 8 x + y + 2z = 9 (2x + y + z) + (x + 2y + z) + (x + y + 2z) = 7 + 8 + 9 ⇔        2x + y + z = 7 x + 2y + z = 8 x + y + 2z = 9 x + y + z = 6 ⇔        (2x + y + z) −(x + y + z) = 7 −6 (x + 2y + z) −(x + y + z) = 8 −6 (x + y + 2z) −(x + y + z) = 9 −6 x + y + z = 6 ⇔        x = 1 y = 2 z = 3 x + y + z = 6 ⇔    x = 1 y = 2 z = 3 . L’ensemble des solutions du système proposé est {(1, 2, 3)}. 3) Soit (x, y, z) ∈R3.    x + y + z = 2 3x −y = 1 4x + z = 4 ⇔    y = 3x −1 z = −4x + 4 x + (3x −1) + (−4x + 4) = 2 ⇔    0 × x = 5 y = 3x −1 z = −4x + 4 . Le système proposé n’a pas de solution. 4) Soit (x, y, z) ∈R3.    2x + y = 1 x + y = 0 3x + 4y = −1 ⇔    y = −x 2x −x = 1 3x −4x = −1 ⇔    y = −x x = 1 x = 1 ⇔ x = 1 y = −1 L’ensemble des solutions du système proposé est {(1, −1, z), z ∈R}. 5)    x + y + z + t = 3 x + y + z −t = 3 x −y −z −t = −1 ⇔    2x = 2 (L1 ←L1 + L3) x + y + z −t = 3 x −y −z −t = −1 ⇔    x = 1 1 + y + z −t = 3 1 −y −z −t = −1 ⇔    x = 1 y + z −t = 2 −y −z −t = −2 ⇔    x = 1 −2t = 0 (L2 ←L2 + L3) −y −z −t = −2 ⇔    x = 1 t = 0 z = −y + 2 L’ensemble des solutions du système proposé est {(1, y, 0, −y + 2), y ∈R}. http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. Exercice no 2. Soit M(x, y, z) un point de l’espace. M ∈P ∩P ′ ⇔ x + y + 2z = 1 2x −y + z = 2 ⇔ z = −2x + y + 2 x + y + 2(−2x + y + 2) = 1 ⇔ −3x + 3y = −3 z = −2x + y + 2 ⇔ y = x −1 z = −2x + (x −1) + 2 ⇔ y = x −1 z = −x + 1 ⇔∃λ ∈R/    x = λ y = λ −1 z = −λ + 1 . P ∩P ′ est la droite de représentation paramétrique    x = λ y = λ −1 z = −λ + 1 , λ ∈R. Il revient au même de dire que l’ensemble des solutions du système x + y + 2z = 1 2x −y + z = 2 est {(x, x −1, −x + 1), x ∈R}. Exercice no 3. m est un paramètre réel. 1) Soit (x, y, z) ∈R3.    2x + 3y + z = 4 −x + my + 2z = 5 7x + 3y + (m −5)z = 7 ⇔    z = 4 −2x −3y −x + my + 2 (4 −2x −3y) = 5 7x + 3y + (m −5) (4 −2x −3y) = 7 ⇔    z = 4 −2x −3y −5x + (m −6)y = −3 (−2m + 17)x + (−3m + 18)y = −4m + 27 . Le déterminant du système formé par les deux dernières équations est ∆= −5 m −6 −2m + 17 −3m + 18 = −5(−3m + 18) −(−2m + 17)(m −6) = (m −6)(15 −(−2m + 17)) = 2(m −1)(m −6). Le système formé par les deux dernières équations est de Cramer si et seulement si m / ∈{1, 6}. • Si m / ∈{1, 6}, les formules de Cramer fournissent alors : −5x + (m −6)y = −3 (−2m + 17)x + (−3m + 18)y = −4m + 27 ⇔          x = 1 2(m −1)(m −6) −3 m −6 −4m + 27 −3m + 18 y = 1 2(m −1)(m −6) −5 −3 −2m + 17 −4m + 27 ⇔        x = 4m2 −42m + 108 2(m −1)(m −6) y = 14m −84 2(m −1)(m −6) ⇔        x = 2(2m −9)(m −6) 2(m −1)(m −6) = 2m −9 m −1 y = 14(m −6) 2(m −1)(m −6) = 7 m −1 ⇔      x = 2m −9 m −1 y = 7 m −1 . Mais alors, http ://www.maths-france.fr 2 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.    2x + 3y + z = 4 −x + my + 2z = 5 7x + 3y + (m −5)z = 7 ⇔              x = 2m −9 m −1 y = 7 m −1 z = 4 −2 × 2m −9 m −1 −3 × 7 m −1 ⇔                x = 2m −9 m −1 y = 7 m −1 z = −4m −7 m −1 Si m / ∈{1, 6}, l’ensemble des solutions du système proposé est 2m −9 m −1 , 7 m −1, −4m −7 m −1  . • Si m = 1, le système s’écrit    2x + 3y + z = 4 −x + y + 2z = 5 7x + 3y −4z = 7 ou aussi    z = 4 −2x −3y −5x −5y = −3 15x + 15y = 23 ou encore            z = 4 −2x −3y x + y = 3 5 x + y = 23 15. . Dans ce cas, le système n’a pas de solution. • Si m = 6, le système s’écrit    z = 4 −2x −3y −5x = −3 5x = 3 ou encore      x = 3 5 z = 4 −2 × 3 5 −3y ou enfin      x = 3 5 z = 14 5 −3y . Si m = 6, l’ensemble des solutions est 3 5, y, 14 5 −3y  , y ∈R . 2) Soit (x, y, z) ∈R3.    2x + my + z = 3m x −(2m + 1)y + 2z = 4 5x −y + 4z = 3m −2 ⇔    x = (2m + 1)y −2z + 4 2((2m + 1)y −2z + 4) + my + z = 3m 5((2m + 1)y −2z + 4) −y + 4z = 3m −2 ⇔    x = (2m + 1)y −2z + 4 (5m + 2)y −3z = 3m −8 (10m + 4)y −6z = 3m −22 ⇔   uploads/S4/ 06-systemes-corrige.pdf

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• Détails
• Publié le Mar 14, 2021
• Catégorie Law / Droit
• Langue French
• Taille du fichier 0.0636MB