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Sujet droit Devoir de math´ ematiques Exercice 1 1. On consid` ere la suite (un

Sujet droit Devoir de math´ ematiques Exercice 1 1. On consid` ere la suite (un)n⩾0 d´ eﬁnie par la forme explicite un = 4n + 3 , n ⩾0. (a) Prouver que la suite (un)n⩾0 est une suite arithm´ etique dont on d´ eterminera le terme initial ainsi que la raison. (b) D´ eterminer le rang du terme 311. (c) Calculer la somme S = 3 + 7 + 11 + · · · + 303 + 307 + 311. 2. On consid` ere la suite (vn)n⩾0 d´ eﬁnie par la forme explicite vn = 2n −1 3n + 2 , n ⩾0. (a) Calculer les quatre premiers termes de la suite (vn)n⩾0. (b) Prouver que la suite (vn)n⩾0 est croissante. (c) Prouver que la suite (vn)n⩾0 est convergente et calculer sa limite. Exercice 2 On consid` ere la fonction f(x) = x2 + x −1 x −1 . 1. D´ eterminer l’ensemble de d´ eﬁnition de la fonction f ainsi que l’ensemble des r´ eels x en lesquels la fonction est d´ erivable. 2. D´ eterminer la limite de f(x) en 1 par valeurs inf´ erieures. 3. Calculer la d´ eriv´ ee f ′ de la fonction f. 4. En d´ eduire le tableau de variations de la fonction f. 5. Montrer que la droite d’´ equation y = x + 2 est une asymptote oblique en +∞et −∞` a la courbe repr´ esentative de la fonction f. 6. Construire la courbe repr´ esentative de la fonction f avec pour unit´ es 2 cm en abscisse et 1 cm en ordonn´ ee et mettre en ´ evidence sur la ﬁgure les tangentes horizontales ainsi que les asymptotes. Exercice 3 1. On rappelle la formule cos(a+b) = cos a cos b−sin a sin b, d´ emontrer la formule cos(2x) = 2 cos2 x−1. 2. On consid` ere le r´ eel α ∈[0; π 4 ] tel que cos α = 1 + √ 5 4 . (a) Calculer la valeur exacte de cos(2α). (b) Calculer la valeur exacte de cos(4α). (c) Prouver que 4α = π −α et en d´ eduire la valeur exacte de α. 1/2 Sujet droit Devoir de math´ ematiques Exercice 4 Dans le plan muni d’un rep` ere orthonorm´ e, on consid` ere les points A(−7; 2), B(5; −6), Ω(4; −1), C(1; 1) et D(7; −3) ainsi que le vecteur − → u 4 6 . Placer les points sur la ﬁgure ci-dessous qui sera compl´ et´ ee au fur et ` a mesure des questions. 1. (a) Montrer que les vecteurs − − → AB et − → u sont orthogonaux. (b) Que repr´ esente le vecteur − → u pour la droite (AB) ? En d´ eduire une ´ equation cart´ esienne de la droite (AB). 2. (a) Calculer les produits scalaires − → ΩA . − → u et − → ΩB . − → u . (b) Pour tout point M(x; y) du plan exprimer en fonction de x et y le produit scalaire − − → ΩM . − → u . (c) On suppose que les points M, A et B sont align´ es, d´ emontrer que 2x + 3y + 8 = 0 et en d´ eduire que le produit scalaire − − → ΩM . − → u est ind´ ependant de x et y. 3. (a) Montrer que l’´ equation du cercle de diam` etre [CD] est x2 + y2 −8x + 2y + 4 = 0. (b) Calculer les coordonn´ ees du (ou des) point(s) d’intersection de ce cercle avec la droite d’´ equation 2x + 3y = −8. Exercice 5 Dans le plan, on consid` ere un segment [AB] de longueur 12 cm et on cherche ` a d´ eterminer l’ensemble des points M tels que MA2 + 3MB2 = 144. 1. On pose G = bar{(A; 1), (B; 3)}, exprimer le vecteur − → AG en fonction du vecteur − − → AB et calculer les longueurs GA et GB. 2. En utilisant la relation de Chasles, prouver que 4MG2 + GA2 + 3GB2 = 144. 3. En d´ eduire l’ensemble des points M cherch´ es puis r´ ealiser une ﬁgure. 2/2 uploads/S4/ devoir-commun-1ere-s-maths-3-sans-correction.pdf