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MATHÉMATIQUES ECO GESTION L1 Premier Semestre Armand Taranco BIBLIOGRAPHIE • Bo

MATHÉMATIQUES ECO GESTION L1 Premier Semestre Armand Taranco BIBLIOGRAPHIE • Boissonnade et Fredon : Analyse mathématique, tomes 1 et 2, Flash U, A. Colin. • Dupont : Algèbre pour les sciences économiques, Flash U, A. Colin. • Bernard Guerrien, Isabelle This : Les mathématiques de la microéconomie, Economica, édition de poche. • Lecoutre : Mathématiques pour sciences économiques. Exercices corrigés avec rappels de cours, Masson. • Carl, P. Simon et Lawrence Blume, mathématiques pour économistes, traduit chez DeBoeck • J. C. Dameron : Mathématiques schématisées, Economica. PLAN DU COURS • La droite numérique • Propriétés métriques de Rn • Les fonctions numériques d’une variable réelle • Les fonctions numériques de plusieurs variables réelles • Convexité, concavité • Optimisation : sans contraintes, avec contraintes LA DROITE NUMÉRIQUE • Notations R est l’ensemble des nombres réels. R∗ est l’ensemble des réels non nuls. R+ est l’ensemble des réels positifs ou nuls. • Intervalles de R a et b deux réels, a ≤ b Intervalle ouvert : ]a, b[ = {xR / a < x < b} Intervalle fermé : [a, b] = {x R / a ≤ x ≤ b} LA DROITE NUMÉRIQUE • Valeur absolue d’un réel x |x| = x si x ≥ 0 |x| = -x si x < 0 Propriétés Pour tout réel x : |x| ≥ 0 |x| = 0 x = 0 ⇔ Pour tout réel x : |x| = |-x| Pour tous les réels x et y : |x.y| = |x|. |y| Pour tous les réels x et y : | |x| - |y| | ≤ |x + y| ≤ |x| + |y| LA DROITE NUMÉRIQUE • Distance d : R x R → R+ (x , y) → | x – y | d(x,y) = | x – y | Propriétés • d(x,y) = 0 x = y ⇔ • (xR) (yR) d(x , y) = d(y,x) • (xR) (yR) (zR) d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) LA DROITE NUMÉRIQUE • Intervalle ouvert de centre a et de rayon r I(a,r) = ] a - r, a + r [ • Ouvert de R U R est un ⊂ ouvert si et seulement si : (aU) (r > 0) tel que I(a,r) ⊂ U Exemple ]-2, 7[ est un ouvert. a [ a+r ] a-r LA DROITE NUMÉRIQUE • Fermé de R F ⊂ R est un fermé si et seulement si son complémentaire est un ouvert. Exemple F = [3.6, 7.2] est un fermé de R. [ 3.6 ] 7.2 PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DE Rn Notation Un point de Rn est un vecteur caractérisé par ses coordonnées (x1,..., xn). On écrit : x = (x1,..., xn). • Norme sur Rn Une norme de Rn est une application N : Rn → R+ vérifiant : - N(x) = 0 x = 0 ⇔ - (xRn) (R) N(.x) = ||.N(x) - (xRn) (yRn) N(x + y) ≤ N(x) + N(y) PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DE Rn Exemples Pour x = (x1,..., xn), - (norme euclidienne) - -    n 1 i i 2 x x N ) ( ) x , x Max( x N n 1 1 , ) (   2 n 2 1 x x x     PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DE Rn Remarque La norme euclidienne dans Rn provient du produit scalaire de deux vecteurs x et y : x = (x1,..., xn), y = (y1,..., yn)     n 1 i i iy x y x     n 1 i 2 i x x x x x x   PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DE Rn • Distances sur Rn On peut associer à chaque norme N sur Rn une distance d : d : Rn x Rn → R+ (x , y) → d(x,y) d(x,y) = N(x - y) Exemple distance euclidienne : 2 n n 2 1 1 ) y (x ) y (x y - x       PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DE Rn • Boules dans Rn Rn muni de la norme euclidienne se note (Rn ,|| ||). Boule ouverte de centre a et de rayon r, notée B(a,r) B(a,r) = {xRn / ||x – a|| < r} Exemple Dans (R2 ,|| ||), B(a,r) est un disque ouvert de centre a et de rayon r. a1 a2 x1 x2 a=(a1,a2) r PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DE Rn Boule fermée de centre a et de rayon r, notée B(a,r) B(a,r) = {xRn / ||x – a|| ≤ r} Remarque Toutes les boules ne sont pas rondes ! Exemple Dans (R2,N2), B(O,1) est un carré de centre O. B(O,1) ={(x1,x2) R2 / |x1| + |x2|<1} PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DE Rn Boule B(O,1) dans (R2,N2) x1 x2 (1,0) (-1,0) (0,-1) (0,1) O 2 1 2 x x (x) N   PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DE Rn • Ouverts dans Rn U⊂Rn est un ouvert si et seulement si : (x U) (r>0) tel que B(x,r) ⊂U x U B(x,r) PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DE Rn Exemple Une boule ouverte est un ouvert. r  a  x d1 d2 B(x,) avec 2 ) d , Min(d ρ 2 1  PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DE Rn • Fermés dans Rn F R ⊂ n est un fermé si et seulement si le complémentaire de F dans Rn dans est un ouvert. Exemple F = [0,1] x [0,1] est un fermé de R2. (1,1) (1,0) (0,1) FONCTIONS D’UNE VARIABLE • Définition d’une fonction numérique d’une variable On appelle fonction numérique d’une variable réelle une application d’une partie E R à valeurs dans R. ⊂ On note f : E → R x → f (x) Remarque Une fonction numérique n’est pas nécessairement définie pour tous les réels. Ainsi, la fonction x → √x n’est définie que pour x R+. FONCTIONS D’UNE VARIABLE • Domaine de définition d’une fonction L’ensemble des réels pour lesquels la fonction f est définie s’appelle le domaine de définition de la fonction f. Les règles suivantes sont souvent utilisées pour déterminer l’ensemble de définition d’une fonction. - On ne peut pas diviser par 0. - On ne peut pas calculer la racine (et plus généralement, la puissance non entière) d’un nombre strictement négatif. - On ne peut pas calculer le logarithme d’un nombre négatif. FONCTIONS D’UNE VARIABLE • Notion de limite La notion de limite repose sur la notion de “proximité”. On dit que la fonction f tend vers l lorsque x tend vers a et l’on écrit : pour exprimer le fait que f(x) est aussi proche que l’on souhaite du réel l pourvu que x soit suffisamment proche du réel a. l f(x) lim a x a x    FONCTIONS D’UNE VARIABLE Pour formaliser la notion de limite, on a recours à la notion de distance, c’est-à-dire dans R, à la valeur absolue de la différence entre deux nombres. Définition 1 On dit que la fonction f a pour limite l lorsque x tend vers a si et seulement si : pour tout >0, il existe d>0 tel que pour tout x vérifiant 0<|x – a|<d on ait |f(x) – l|<. FONCTIONS D’UNE VARIABLE Définition 2 On dit que f (x) tend vers l quand x tend vers +∞ et on l’on note : lorsque f(x) est aussi proche que l’on veut du réel l si x est suffisamment grand, ce que l’on traduit mathématiquement par : pour tout >0, il existe M>0 tel que pour tout x vérifiant x≥M on ait |f(x) – l|< Exemples l f(x) lim x    0 e lim x     x 0 x 1 lim x    FONCTIONS D’UNE VARIABLE • Quand la limite d’une fonction n’existe-t-elle pas dans R? - Lorsque la limite est infinie. Exemple - Lorsque les limites à gauche et à droite existent mais ne sont pas égales. Exemple    2 x x 1 lim 0 1 x x lim 0 x 0 x    1 x x lim 0 x 0 x     FONCTIONS D’UNE VARIABLE - Lorsque les limites à gauche ou à droite n’existent pas Exemple         x 1 sin lim 0 x 0 x FONCTIONS D’UNE VARIABLE • Unicité de la limite Si une fonction f admet une limite l lorsque x tend vers a, alors cette limite est unique. FONCTIONS D’UNE VARIABLE • Opérations sur les limites f et g sont deux fonctions telles que : alors l f(x) lim a x   h g(x) lim a x   h l g)(x) (f lim a x     h l g)(x) (f lim a x     0 h si h l )(x) g f ( lim a x    FONCTIONS D’UNE VARIABLE • Passage à la limite dans les inégalités - f et g sont deux fonctions telles que f(x) ≤ g(x) pour tout xU, un intervalle ouvert contenant a. Si et existent, alors : - théorème des gendarmes Si uploads/S4/ cours-mathematiques-semestre-1.pdf