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1ère S1 Contrôle du lundi 3 décembre 2012 (30 min) Prénom et nom : ………………………………

1ère S1 Contrôle du lundi 3 décembre 2012 (30 min) Prénom et nom : …………………………………………… Note : …….. / 20  Ne rien écrire sur le sujet en dehors de ce qui est demandé.  Tirer tous les traits de fractions à la règle. I. (2 points) Question de cours Soit f une fonction définie sur intervalle I. On note C sa courbe représentative dans un repère   O, , i j . Soit a un réel appartenant à I et h un réel non nul tel que a + h appartiennent à I. On note A et M les points de C d’abscisses respectives a et a + h. Donner l’expression du coefficient directeur de la droite (AM). O A M C h Figure pour h > 0 Le coefficient directeur de la droite (AM) est égal à …………………………………. . II. (3 points) On considère la fonction f : x  2 4 1 x x   et l’on note C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère   O, , i j . On note A le point de coordonnées (– 1 ; – 2) ; on vérifie aisément par le calcul que A  C. Partie A On se propose d’observer l’allure de la courbe C au voisinage du point A. Sur la figure (1) ci-dessous, on donne la courbe représentative de la fonction f pour x  [– 4 ; 0,5]. Les figures (2) et (3) ont été obtenues en effectuant des agrandissements successifs autour du point A. a a + h i  j  O C A A A Fig. (1) Fig. (2) Fig. (3) Observer ces figures. Sur la calculatrice, représenter la fonction f puis, à l’aide de la fonction « zoom » (« zoombox ») de la calculatrice, effectuer des agrandissements successifs au voisinage du point A. Commenter en une phrase le tracé obtenu sur la figure (3). …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. Partie B On admet que la tangente D à C au point A a pour équation y = 2x. 1°) Tracer D sur le graphique ci-dessous. O C A 2°) Faire un commentaire en une phrase sur l’allure de la courbe C au voisinage du point A en utilisant cette tangente. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. i  j  i  j  – 1 – 2 III. (8 points) On donne sur le graphique ci-dessous la courbe représentative C d’une fonction f définie sur l’intervalle [– 6 ; 9] dans le plan muni d’un repère   O, , i j . Quatre tangentes 1 T , 2 T , 3 T , 4 T sont également tracées sur le graphique. O C T1 T2 T3 T4 1°) Lire graphiquement les valeurs de ' f (– 5), ' f (– 2), ' f (2) et ' f (6,5). ' f (– 5) = ………… ' f (– 2) = ………… ' f (2) = ………… ' f (6,5) = ………… 2°) On donne ' f (– 3) = 2. On note 5 T la tangente à C au point A d’abscisse – 3. Compléter la phrase suivant qui permet de définir 5 T : 5 T est la droite qui passe par ……. et qui a pour coefficient directeur ………. . Tracer 5 T sur le graphique ci-dessus. 3°) Donner sans explication une équation des tangentes 1 T et 2 T . 1 T : ………………………………. 2 T : ………………………………. IV. (6 points) On considère la fonction f : x  2 3 4 x x    . 1°) Calculer le quotient    2 2 f h f h   pour h non nul sous forme simplifiée. 2°) La fonction f est-elle dérivable en 2 ? Si oui, que vaut ' f (2) ? i  j  …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. V. (1 point) On considère la fonction f : x  1 x x . Déterminer à l’aide de la calculatrice la valeur de ' f (0). ' f (0) = ………… Corrigé du contrôle du 3-12-2012 Thèmes de ce contrôle : - approche expérimentale de la tangente - nombre dérivé  Cadre graphique  Cadre numérique-algébrique I. Question de cours O A M C h Le coefficient directeur de la droite (AM) est égal à ( ) ( ) f a h f a h   . II. Partie A Agrandissements autour d’un point Cette partie porte sur l’observation. Les zooms successifs correspondent à des changements de fenêtre graphique. On peut observer que le tracé de C au voisinage du point A est pratiquement rectiligne. On peut aussi observer que le tracé de la courbe est continu (c’est-à-dire que la courbe est tracée sans lever le crayon). a a + h i  j  Partie B Tangente en un point 1°) O C A D 2°) La courbe (l’arc de courbe) peut être assimilé à la tangente (à un segment de tangente) au voisinage du point A. Quelques commentaires :  Le mot « voisinage » est essentiel (la propriété est vraie localement).  On évite de dire que C et D sont confondues au voisinage du point A. Le mot « confondu » a, en effet, un sens très précis en mathématiques (cf. articles « Confondu », « Distinct » du Dictionnaire de mathématiques de Stella Baruk) ; ici, C et D ont un seul point commun : A. On ne dit pas que C et D sont confondus en A.  On peut remarquer que C est tout entière au-dessus de D (c’est-à-dire dans le demi-plan fermé de frontière D au-dessus de D). On peut démontrer par le calcul cette propriété graphique. – 1 – 2 i  j  III. O C T1 T2 T3 T4 1°) Lectures graphiques de nombres dérivés. ' f (– 5) = 0 ' f (– 2) = 3 ' f (2) = 2 3  ' f (6,5) = 5 4 2°) ' f (– 3) = 2 5 T : tangente à C au point A d’abscisse – 3 5 T est la droite qui passe par A et qui a pour coefficient directeur 2. Tracé de 5 T sur le graphique ci-dessus. i  j  O C T1 T2 T3 T4 T5 A 3°) Équations des tangentes 1 T et 2 T . 1 T : 4 y  2 T : 13 3 2 y x    Pour la tangente 1 T : - soit on lit directement cette équation (car la droite est parallèle à l’axe des abscisses : c’est une tangente horizontale) - soit on applique la formule donnant l’équation d’une tangente '( 5)( 5) ( 5) y f x f      .  Pour la tangente 2 T : On applique la formule donnant l’équation d’une tangente : '( 2)( 2) ( 2) y f x f      . On obtient : 1 3( 2) 2 y x    1 3 6 2 y x    13 3 2 y x   On ne pouvait pas lire graphiquement l’équation réduite de cette tangente. On était obligé d’utiliser la formule. i  j  IV. f : x  2 3 4 x x    1°) Calculons le quotient    2 2 f h f h   pour h non nul sous forme simplifiée.  2 2 2 3 2 4 f   4 6 4    = – 2       2 2 2 3 2 4 f h h h         2 4 4 6 3 4 h h h       2 2 h h       2 2 2 2 2 f h f h h h h        2 h h h    h    1 h h   1 h   2°) Étudions la dérivabilité de f en 2.      0 0 2 2 lim lim 1 h h f h f h h        1  Le résultat de la limite est un nombre fini ; on en déduit que la fonction f est dérivable en 2 et ' f (2) = 1. V. f : x  1 x x  Déterminons à l’aide de la calculatrice la valeur de ' f (0). ' f (0) = 1 Certaines calculatrices affichent : 1,000001. C’est une approximation. Il ne faut pas tenir compte de la dernière décimale 1. On peut le démontrer par le calcul (en faisant la limite du taux de variation). uploads/S4/ 1ere-s-controle-3-12-2012.pdf