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Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr CALCULS NUMÉRIQUES

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr CALCULS NUMÉRIQUES Fractions a D + b D = a + b D a D −b D = a −b D a b × c d = a × c b × d a b : c d = a b × d c Puissances an = a x a x a x a x … x a avec n facteurs a Les puissances de 10 10n = 10 ×10 ×10 ×...×10 avec n facteurs10 ! " ## # $ ### La notation scientifique : 7,328 x 105 Nombre compris entre 1 et 10 (10 exclu) x une puissance de 10 ARITHMÉTIQUE Divisibilité Un nombre entier est divisible : - par 2, si son chiffre des unités est pair, - par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5, - par 10, si son chiffre des unités est 0, - par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3, - par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Nombres premiers, nombres premiers entre eux Un nombre est premier s’il possède exactement deux diviseurs qui sont 1 et lui-même. On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1. Décomposition en facteurs premiers : 20 = 2 x 2 x 5 est une décomposition du nombre 20 en produits de facteurs premiers. En effet, chaque facteur de la décomposition est un nombre premier. Propriété : Tout nombre non premier peut se décomposer en produits de facteurs premiers. Cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près. Définition : On dit qu’une fraction est irréductible, lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. 10m ×10 p = 10m+ p 10m 10 p = 10m−p 10m ( ) p = 10m× p a1 = a a0 = 1 0n = 0 1n = 1 On dit que a−1 = 1 a est l’inverse de a. De façon générale : a−n = 1 an 10−n = 0,00...0 avec n zéros !" # $ # 1 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr CALCUL LITTÉRAL Distributivité k ( a + b ) = ka + kb k ( a - b ) = ka - kb ( a + b ) k = ak + bk ( a - b ) k = ak - bk Double distributivité Identités remarquables (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b) 2 = a2 - 2ab + b2 (a + b)(a - b) = a2 - b2 Equation et inéquations Exemples : Résoudre l’équation : Résoudre l’équation : Résoudre l’inéquation : (4x + 6)(3 - 7x) = 0 Si un produit de facteur est nul, alors l’un au moins des facteurs est nul. 4x + 6 = 0 ou 3 – 7x = 0 4x = – 6 –7x = –3 x = x = x = x = S = −3 2 ; 3 7 ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 5 4 ) 4 ( 2 − ≤ − x x 5 4 8 2 − ≤ − x x 5 8 4 2 − ≤ −x x 3 2 ≤ −x x ≥−3 2 −6 4 −3 −7 −3 2 3 7 3 3 9 9 3 6 3 2 3 6 2 ) 3 ( ) 3 ( 2 − = − = − = − − = + − − = + + − = + x x x x x x x x x On divise par un nombre négatif donc on change le sens de l’inégalité. Les solutions sont tous les nombres supérieurs à Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr FONCTIONS Notations A est appelée une fonction. C’est une « machine » mathématique qui, à un nombre donné, fait correspondre un autre nombre. ! Nombre de départ Nombre correspondant On note : f : x 5x – x2 ou f (x) = 5x – x2 Images et antécédents Si f (1) = 4, on dit que : - l’image de 1 par la fonction f est 4. - un antécédent de 4 par f est 1. Fonctions affines a et b étant deux nombres fixés x a x + b est appelée fonction affine x a x est appelée fonction linéaire x b est appelée fonction constante. Une fonction linéaire est une fonction affine où b = 0. Propriétés : 1) Toute fonction affine est représentée par une droite. 2) Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l’origine. 3) Une fonction constante est représentée par une droite parallèle à l’axe des abscisses. La droite (d) représentant la fonction f définie par f(x) = ax + b a pour coefficient directeur a et pour ordonnée à l’origine b. Propriété des accroissements : Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB) sont deux points de la droite (d) représentant la fonction f définie par : f(x) = ax + b alors : a = yB −yA xB −xA Propriétés : - Augmenter un nombre de N% revient à le multiplier par 1+ N 100 . - Diminuer un nombre de N% revient à le multiplier par 1−N 100 . ! f x 5x – x2 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr PROBABILITÉS La probabilité d’un évènement est un nombre compris entre 0 et 1 qui exprime « la chance qu’a un évènement de se produire ». Propriété : La probabilité d’un évènement A est P(A) = L'événement contraire de A, noté A , est l'ensemble de toutes les issues de n'appartenant pas à A. On a : STATISTIQUES Moyenne pondérée m = 1× 4 +1× 6 + 4 ×18+ 2 × 7 + 4 ×17 + 2 ×12 + 4 ×12 + 2 ×18 1+1+ 4 + 2 + 4 + 2 + 4 + 2 = 272 20 = 13,6 Médiane Pour déterminer une médiane, il faut ordonner la série. La médiane partage l’effectif en deux. Exemple 1 : 3 10 12 12 12 13 13 14 14 15 5 données 5 données méd = (12 + 13) : 2 = 12,5 Exemple 2 : 9 10 10 11 12 13 13 14 15 4 données 4 données méd = 12 Etendue L’étendue est la différence entre la plus grande valeur de la série et la plus petite. Nombre d’issues favorables A Nombre d’issues total P A ( ) = 1−P A ( ) Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr ANGLES ET TRIANGLES SEMBLABLES Angles alternes-internes Si deux droites sont parallèles alors les angles alternes-internes reposant sur ces droites sont égaux. Si deux angles alternes-internes sont égaux alors les droites sur lesquelles ils reposent sont parallèles. Triangles semblables On appelle triangles semblables des triangles qui ont des angles deux à deux égaux. Propriété : Si deux triangles sont semblables alors les longueurs des côtés de l’un sont proportionnelles aux longueurs des côtés de l’autre. THÉORÈME DE PYTHAGORE L’égalité de Pythagore : Un triangle rectangle est un triangle dont le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Théorème de Pythagore Réciproque du théorème de Pythagore Si un triangle ABC est rectangle en A, Si dans un triangle ABC, on a BC2 = AB2 + AC2, alors BC2 = AB2 + AC2. alors ce triangle est rectangle en A. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr THÉORÈME DE THALÈS Théorème de Thalès Dans un triangle ABC, où B’∈[AB] et C’∈[AC] Dans un triangle ABC, où B’∈(AB) et C’∈(AC) si (B’C’)//(BC) si (B’C’)//(BC) alors alors Comment retenir le théorème de Thalès ? ABC et AB’C’ sont deux triangles en situation de Thalès ; ils ont un sommet commun A, et deux côtés parallèles (B’C’) et (BC). Un triangle est un « agrandissement » de l’autre. On dit que les deux triangles sont semblables. Ils ont en effet des côtés deux à deux proportionnels. Le petit triangle AB’C’ Le grand triangle ABC 1ers côtés 2èmes côtés 3èmes côtés Réciproque du théorème de Thalès Si les points A, B et B’ sont alignés dans le même ordre que les points A, C et C’ et , alors (BC)//(B’C’). AB' AB = AC' AC = B'C' BC AB' AB = AC' AC = B'C' BC AB' AB = AC' AC AB' AB = AC' AC = B'C' BC C’ B’ A B C A B’ B C’ C C’ B’ A B C Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr TRIGONOMÉTRIE cos Angle ( ) = Adjacent Hypoténuse sin Angle ( ) = Opposé Hypoténuse tan Angle ( ) = Opposé Adjacent TRANSFORMATIONS Symétrie axiale M et M’ sont symétrique par rapport à la droite (d) signifie que : - [MM’] est perpendiculaire à (d), - M et M’ sont égale distance de (d). Deux figures symétriques par symétrie axiale se superposent par un pliage le long de l’axe de symétrie. Symétrie centrale M et M’ sont symétrique par rapport uploads/S4/ formulaire-3-e.pdf