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- 1 - © 2013 - Gérard Lavau - http://lavau.pagesperso-orange.fr/index.htm Vous

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Cette définition est équivalente à : lim h→0 f(x0+h) – f(x0) h = f '(x0) La droite d'équation y = f '(x0)(x – x0) + f(x0) est la droite tangente au graphe représentatif de f, au point d'abscisse x0. Au lieu de f ', on trouve également les notations Df ou df dx. (La définition précédente s'applique aussi aux fonctions à valeurs complexes. Si f est à valeurs complexes, de parties réelle g et imaginaire h, il résulte du calcul des limites d'une telle fonction en séparant précisément partie réelle et imaginaire que f ' = g' + ih'). La définition est également équivalente à l'existence d'une fonction ϕ continue en x0 telle que : f(x) = f(x0) + (x – x0) ϕ(x) avec ϕ(x0) = f '(x0). En dehors de x0, ϕ(x) est égal au taux d'accroissement f(x) – f(x0) x – x0 . Il résulte immédiatement de la définition qu'une fonction dérivable est continue. La réciproque est fausse comme le prouve l'exemple de x en 0. Si on se limite à h > 0, on parle de dérivée à droite. Si l'on se limite à h < 0, on parle de dérivée à gauche. Si f est dérivable à droite et à gauche de x0 et si les deux dérivées sont égales, alors f est dérivable en x0. - 2 - La fonction x → x est dérivable à droite et à gauche de 0. Il existe des fonctions continues n'admettant aucune dérivée à droite et à gauche de 0, par exemple x → x sin(1 x). Il existe des fonctions continues dérivables en aucun point, mais la présentation d'un contre-exemple dépasse le niveau de première année. 2– Opérations Les résultats relatifs à la somme, au produit, au quotient de fonctions dérivables étant censés être bien connus, nous nous limiterons à : a) Composition Soit f dérivable en x0 et g dérivable en f(x0). Alors g o f est dérivable en x0 et : (g o f)'(x0) = g'(f(x0)).f '(x0) En effet, il existe deux fonctions ϕ et ψ, continue en x0 et f(x0) = y0 respectivement telles que : f(x) = f(x0) + (x – x0) ϕ(x) et f '(x0) = ϕ(x0) g(y) = g(y0) + (y – y0) ψ(y) et g '(y0) = ψ(y0) Donc, en prenant y = f(x) : g(f(x)) = g(f(x0)) + (f(x) – f(x0)) ψ(f(x)) = g(f(x0)) + (x – x0) ϕ(x)ψ(f(x)) Or la fonction ϕ(x)ψ(f(x)) est continue en x0, donc g o f est dérivable en x0 et : (g o f)'(x0) = ϕ(x0)ψ(f(x0)) = f '(x0) g'(f(x0)) - 3 - La règle de dérivation d'une fonction composée se note agréablement en physique, où seules les variables portent un nom et non les fonctions elles-mêmes. Supposons une quantité E dépendant de la position z d'un mobile. On a alors E = E(z). Supposons que z dépende du temps t de sorte que z = z(t) et que E = E(z(t)) = E(t) pour abréger. On remarquera que cette dernière notation est invalide en mathématique à cause d'une ambiguïté. E(3) désigne-t-il la valeur de E pour z = 3 ou pour t = 3 ?Cette ambiguïté n'existe pas en physique où l'on demandera E(3 m) ou E(3 s), l'unité appliquée aux variables levant alors l'ambiguïté. La règle de dérivation des fonctions composées se note alors : dE dt = dE dz dz dt On notera que cette notation "fractionnaire" n'est valide qu'au premier ordre, puisqu'on s'exercera à vérifier que : d2E dt2 = d2E dz2       dz dt 2 + dE dz d2z dt2 b) Reciproque Soit f continue sur un intervalle I, bijective sur I, dérivable en x0 et telle que f '(x0) ≠ 0. Alors f–1 est dérivable en y0 = f(x0) et : (f–1)'(y0) = 1 f '(x0) = 1 f '(f–1(y0)) En effet, il existe une fonction ϕ, continue en x0 telle que f(x) = f(x0) + (x – x0) ϕ(x) et f '(x0) = ϕ(x0) Posons y = f(x), y0 = f(x0), et donc x = f–1(y) et x0 = f–1(y0). Comme ϕ est continue en x0 et que f '(x0) = ϕ(x0) est non nulle, il existe un intervalle centré en x0 sur lequel ϕ ne s'annule pas. Nous prendrons x dans cet intervalle et y dans l'image de cet intervalle par ϕ (image qui contient y0 en son intérieur). On a alors : x = x0 + y – y0 ϕ(x) ⇒ f–1(y) = f–1(y0) + y – y0 ϕ(f–1(y)) La fonction y → 1 ϕ(f–1(y)) est continue en y0 comme composée de fonctions continues, et sa valeur en y0 est 1 ϕ(x0) = 1 f '(x0) = 1 f '(f–1(y0)). f–1 est donc dérivable en y0 de dérivée (f–1)'(y0) = 1 ϕ(f–1(y0)) = 1 f '(x0) = 1 f '(f–1(y0)) . EXEMPLES : • Pour f(x) = ln(x), de dérivée 1 x, on obtient : (ex)' = 1 1 ex = ex. • Pour f(x) = sin(x) sur [–π/2, π/2], on obtient : (arcsin(x))' = 1 cos(arcsin(x)) = 1 1 – x2 pour x ∈ ]–1,1[. - 4 - • De même, (arccos(x))' = – 1 1–x2 • Pour f(x) = tan(x) sur ]– π 2, π 2[, on obtient : (arctan(x))' = 1 1 + tan2(arctan(x)) = 1 1 + x2 3– Dérivées successives Si f est dérivable sur un intervalle I, on peut définir la fonction dérivée f ', et se poser la question de savoir si elle est elle–même continue ou dérivable. Si c'est le cas, on peut définir sa dérivée f" , etc ... On note f(k) ou Dkf ou dkf dxk la dérivée d'ordre k. On remarquera que f ' peut ne pas être continue. Un exemple est donné par la fonction f(x) = x2 sin 1 x dont la dérivée n'est pas continue en 0. On a en effet, f(x) – f(0) x – 0 = x sin 1 x qui tend vers 0 = f '(0), cependant que f '(x) = 2x sin 1 x – cos 1 x n'a pas de limite en 0. Ci-dessous le graphe de f entre –1 et 1, dans un repère non orthonormé. Il y a clairement une tangente horizontale en 0 (le graphe est compris entre les deux paraboles y = ± x2), mais les tangentes au graphe aux points d'intersection avec Ox ont des pentes qui tendent vers ± 1. On note Cn(I) l'espace vectoriel des fonctions n fois continûment dérivables sur I. Montrons que, si f et g sont Cn, il en est de même de f + g, de fg, de f g (à condition que g ne s'annule pas), de g o f, et de f–1 (à condition que f soit bijective et que sa dérivée ne s'annule pas). - 5 - a) Somme Il est trivial de vérifier par récurrence que (f + g)(n) = f(n) + g(n) b) Produit On dispose d'une formule donnant la dérivée nème d'un produit. FORMULE DE LEIBNIZ Soit u et v deux fonctions n fois dérivables. Alors uv est n fois dérivable et : (uv)(n) = ∑ p=0 n       n p u(p) v(n–p) où l'on convient que u(0) = u.       n p désigne le coefficient binomial n! p!(n–p)! si 0 ≤ p ≤ n et 0 sinon. Démonstration : Elle se fait par récurrence sur n. C'est évidemment vérifié pour n = 0 et pour n = 1, pour lequel on reconnaît : (uv)' = u'v + uv'. Si la formule est vraie au rang n et que les fonctions sont n+1 fois dérivables, on voit que (uv)(n) est dérivable et de dérivée : (uv)(n+1) = ∑ p=0 n       n p (u(p+1) v(n–p) + u(p) v(n–p+1)) = ∑ p=0 n       n p u(p+1) v(n–p) + ∑ p=0 n       n p u(p) v(n–p+1) = ∑ p=0 n+1        uploads/S4/ 3-1-derivee.pdf