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Pilote Kébili 13/03/2021 Devoir de contrôle n°2 Mathématique 4Sciences Durée :

Pilote Kébili 13/03/2021 Devoir de contrôle n°2 Mathématique 4Sciences Durée : 2H Ben Abdelkader Exercice 1 : (3points) 1) Calculer   2021 ln 1 lim 1 x x x    2) Calculer l’intégrale : 2 1 ln e x xdx  3) Résoudre dans IR : l’équation   2 ln 3ln 2 0 x x    Exercice 2 : (5points) Soit f la fonction définie par : f(x) = ln(x² - 2x + 2). On désigne par  la courbe de f dans un repère orthonormé   , , o i j . (unité graphique : 2cm) 1) a/ Montrer que f est définie sur IR. b/ Dresser le tableau de variation de f. 2) a/ Montrer que la droite D : x = 1 et un axe de symètrie pour . b/ Préciser les branches infiniess de  au voisinage de . c/ Tracer . 3) Soit la fonction 1 : ² 2 2 x dt F x t t    et G la fonction définie sur 0, 2        par G(x) = F(1 + tgx). a/ Montrer que F est dérivable sur IR et préciser F’(x). b/ Montrer que G est dérivable sur 0, 2        et calculer G’(x) pour tout x de 0, 2        . c/ En déduire que G(x) = x pour tout x 0, 2        et que 2 1 ² 2 2 4 dt t t      . 4) a/ Montrer à l’aide d’une intégration par partie que :  2 2 1 1 ² 2ln 2 2 ² 2 2 x x f x dx dx x x        b/ Vérifier que pour tout réel x on a : ² 1 1 1 ² 2 2 ² 2 2 ² 2 2 x x x x x x x x x           . c/ Calculer alors l’aire du domaine limitée par  et les droites x = 1 ; x = 2 et y = 0. Exercice 3 : (6points) A/ Dans la figure 1 ci-contre : g  est la représentation graphique d’une fonction g définie sur   0, - La droite x = 0 est une asymptote verticale pour g . - g  admet une tangente horizontale au point A(1,1) - g  admet une branche infinie de direction celle de la droite : y x   au voisinage de . 1) a/ Déterminer :  0 lim x g x    lim x g x x  et  lim x g x x   . b/ Dresser le tableau de variation de g. 2) On admet que g(x) = ax + blnx pour tout x > 0 où a et b deux réels. a/ Déterminer graphiquement g(1) et g’(1). b/ En déduire que a = 1 et b = -1. 3) Soit   0,1  et A  l’aire du partie du plan limitée par g , la droite  et les droites x = 1 et x = . a/ Montrer que 1 ln A       . b/ Calculer 0 lim x A    et interpréter. B/ Soit la fonction f définie sur   0, par   ln ln si x > 0 0 1 x f x x x f         . 1) a/ Montrer que f est continue a droite en 0. b/ Etudier la dérivabilité de f a droite en 0 c/ Calculer  lim x f x  . Interpréter graphiquement d/ Montrer que f’(x) =    2 1 ln x g x  pour tout   0, x  et dresser le tableau de variation de f. 2) Compléter la figure 2 et montrer que le point M appartient à la courbe de f : f . 3) Tracer f  dans la figure 3. Exercice 4 : (6 points) Une usine fabrique des pièces avec une portion de 5% de pièces défectueuses. Le contrôle des fabrications est tel que : - si la pièce est bonne, elle est acceptée avec la probabilité 0,96. - Si la pièce est mauvaise, elle est refusée avec la probabilité 0,98. On choisit une pièce au hasard et on la contrôle. On note : D « la pièce est défectueuse » A « la pièce est acceptée » 1) Déterminer P(D) ; P(A/D) et P(A/ D ) 2) Tracer un arbre de probabilité et déduire P(A). 3) Quelle est la probabilité qu’il y ait une erreur de contrôle. 4) Quelle est la probabilité qu’une pièce acceptée soit mauvaise. uploads/S4/ 4sc-dc2-pilote-kebili.pdf