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FONCTIONS AFFINES, EQUATIONS ET INÉQUATIONS DU 1 ER DEGRÉ 49 1C – JtJ 2017 Thèm

FONCTIONS AFFINES, EQUATIONS ET INÉQUATIONS DU 1 ER DEGRÉ 49 1C – JtJ 2017 Thème 4: Fonctions affines, équations et inéquations du 1er degré 4.1 Fonctions affines Définition : • On appelle fonction affine, toute fonction du type : x ----> m · x + h (où m et h sont des nombres réels) Exemple : La fonction x ----> 3x – 2 est une fonction affine. Remarques : • On remplacera volontiers le codage x ----> mx + h par : f (x) = mx + h ou encore y = mx + h • La représentation graphique d’une fonction affine est une droite comme nous allons l’observer sur l’exemple qui suit. Modèle 1 : Représenter graphiquement la fonction f (x) = 3x – 2 tableau de valeurs x -3 -2 -1 0 1 2 3 1,5 f (x) représentation graphique d’une fonction affine : x y 50 THÈME 4 1C – JtJ 2017 Propriétés : f (x) = mx + h • On constate sur le graphique que 1°) la pente de la droite = dénivellation (verticale) distance horizontale = différence de hauteur différence de longueur = Δy Δx égale à m. 2°) la droite coupe l’axe des y à la "hauteur" h. On dit que h est l’ordonnée à l’origine. • Nous pouvons maintenant représenter une fonction affine sans devoir effectuer un tableau de valeurs. Modèle 2 : représentation graphique d’une fonction affine : Représenter graphiquement la fonction f (x) = -2x + 4 Exercice 4.1: Représenter graphiquement les fonctions suivantes : a) f (x) = -x + 3 b) f (x) = 2x + 1 c) f (x) = -2x – 4 d) f (x) = 3 Exercice 4.2: Représenter graphiquement une fonction affine de pente -3 et d’ordonnée à l’origine +4. x y FONCTIONS AFFINES, EQUATIONS ET INÉQUATIONS DU 1 ER DEGRÉ 51 1C – JtJ 2017 • Une droite de pente positive « monte » : L’inclinaison de la droite : • Une droite de pente négative « descend » : • Une droite de pente nulle est horizontale : Modèle 3 : Représenter graphiquement la fonction f (x) = - 1 3 x + 2 Exercice 4.3: Représenter graphiquement les fonctions suivantes : a) f (x) = - 1 2 x + 2 b) f (x) = 5 3 x −4 c) f (x) = - 3 4 x d) f (x) = 4 3 x +1 4.2 Résolution d’équations par voie graphique Un peu d’histoire : De même que les nombres, les équations appartiennent aux premiers résultats mathématiques obtenus par les hommes. On les trouve dans les plus anciens documents mathématiques écrits par exemple dans des textes babyloniens qui remontent à 3000 ans av. J.-C. En accord avec les traditions de la société babylonienne, les questions de partage d’héritage étaient du plus haut intérêt. Le fils aîné devant recevoir toujours la plus grande part, le second une part plus importante que le troisième, et ainsi de suite, le partage se traduisait alors en une équation à résoudre. Nous allons nous concentrer dans un premier temps à la résolution d’équations en utilisant un graphique pour ensuite généraliser la démarche à l’aide d’une méthode algébrique. x y 52 THÈME 4 1C – JtJ 2017 Modèle 4 : résolution d’équations par voie graphique Résoudre graphiquement l’équation : 3x – 2 = -x + 2 Modèle 5 : résolution d’équations par voie graphique Résoudre graphiquement l’équation : 2 3 x + 2 = 4 Exercice 4.4: Résoudre graphiquement les équations suivantes: a) 2x – 4 = -x + 2 b) 3x + 1 = -2 c) -4x + 2 = -4x – 1 d) 1 2 x + 5 = - 1 4 x + 2 e) 2 3 x −8 = - 3 2 x + 4 f) 9 4 x + 5 = 2x + 1 Remarque : Ces 2 derniers exemples montrent bien les limites de la méthode de résolution par voie graphique et justifient la méthode suivante. x y x y FONCTIONS AFFINES, EQUATIONS ET INÉQUATIONS DU 1 ER DEGRÉ 53 1C – JtJ 2017 4.3 Résolution d’équations par voie algébrique Propriétés : Pour toute égalité ou ÉQUATION 1. Si on additionne une même expression des 2 côtés d’une égalité alors cette égalité reste vraie. si a = b alors a + c = b + c manipulation des 2 côtés d’une équation 2. Si on soustrait une même expression des 2 côtés d’une égalité alors cette égalité reste vraie si a = b alors a – c = b – c 3. Si on multiplie des 2 côtés d’une égalité par une même expression non nulle alors cette égalité reste vraie. si a = b alors a · c = b · c 4. Si on divise des 2 côtés d’une égalité par une même expression non nulle alors cette égalité reste vraie. si a = b alors a c = b c Marche à suivre : Résoudre une équation consistera à effectuer une ou plusieurs opérations choisies parmi les 4 proposées ci-dessus afin d’isoler progressivement l’inconnue (souvent x) en construisant une suite d’équations de plus en plus simples. Modèle 6 : résolution d’une équation du 1er degré Résoudre l’équation suivante : 3x – 2 = 4 Modèle 7 : résolution d’une équation du 1er degré Résoudre l’équation suivante : 2x + 7 = 5x – 4 54 THÈME 4 1C – JtJ 2017 Modèle 8 : résolution d’une équation qui n’admet pas de solution Résoudre l’équation suivante : 5(3x – 2) = 3(5x – 1) Exercice 4.5: Résoudre les équations en indiquant les opérations effectuées : a) 7x +13 =10x −2 b) 6x + 9 = 2x −7 c) 2x + 7 = 3x −6 d) 8x + 18 = 5x – 7 e) 8x – 56 + 20 = -16 – 2x f) 18x – 73 – 27x = 65 + 20x – 22 g) 2(3x + 5) = 6x – 5 h) 12 – 15x = 23 – (3x + 12 + 1lx) i) 4(2x + 7) = 2(4x + 14) j) (4 + 3x)·11 = 18(2x – 3) – 2(x – 50) k) abx + cdx = ab + cd l) ax −a 2 = nx −an Exercice 4.6: Sans résoudre, déterminez si le nombre 4 est une solution de l'équation 3x – 2 = 10 et justifier. Résoudre l’équation suivante : x + 3 2 −x −2 3 = 3x −5 12 + 1 4 Modèle 9 : résolution d’une équation du 1er degré avec fractions FONCTIONS AFFINES, EQUATIONS ET INÉQUATIONS DU 1 ER DEGRÉ 55 1C – JtJ 2017 Exercice 4.7: Résoudre les équations en indiquant les opérations effectuées : a) 4x −6 8 + 3x −2 4 = 4 b) 2x + 3 5 + 3x −4 4 = 4x −5 8 c) x −2 3 = 1 7 d) x 2 + x +1 3 + x + 4 4 = 11 5 e) 1−3x 7 = x + 3 4 + 1 14 f) x + 3 4 =1,8 −x + 3 5 g) x + 3 4 −x −3 2 = 3 h) y −y −2 3 = 4 −y+ 5 6 i) 1 3 −x +1 2 = 2x −3x +1 4 j) m −3 3 −m −2 2 =1−m k) x + 4 3 + x + 5 4 =16 −3+ x 2 Résoudre l’équation suivante : 2 3 x + 3 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ −4x = 1 2 (x −2) Modèle 10 : résolution d’une équation du 1er degré avec fractions 56 THÈME 4 1C – JtJ 2017 Exercice 4.8: Résoudre les équations en indiquant les opérations effectuées : a) 1 2 (3x −1)−1 4 (4 −x) = 0 b) 5x −6 5 −3x 13 = x −4 9 c) 1 8 x 10 + 1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = 1 40 (7x −30) d) 3x + 2 5 −x −2x + 5 3 = 3 e) 2x +1 3 = 28 −5x −2 7 −3x +1 4 f) 4x −2 3 −30x −5 12 = 1 12 −5x 4 g) 20(7x + 4)−18(3x + 4)−5 = 25(x + 5) h) 12 −3x 4 −3x −11 3 =1 i) 3 4(3+ x)−(5x −4) [ ]−(3−6x) = 0 j) 1 2 x −1 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ −1 3 x −1 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + 1 4 x −1 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = 0 k) 3x −0,5(x −1,5)−9 = 0,25(7 −5x) l) x 6 −x −1/2 3 = 1 3 2 5 −x 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ Exercice 4.9: À l'aide d'une équation, décrire algébriquement la situation illustrée et la résoudre. Exercice 4.10: À l'aide d'une équation, décrire algébriquement la situation illustrée et la résoudre. FONCTIONS AFFINES, EQUATIONS ET INÉQUATIONS DU 1 ER DEGRÉ 57 1C – JtJ 2017 Exercice 4.11: À l'aide uploads/S4/ 1c-theme-4-pdf.pdf