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0 AUTOMNE 2016 201-NYC-05 ______________________________ Numéro du cours ALGÈBR

0 AUTOMNE 2016 201-NYC-05 ______________________________ Numéro du cours ALGÈBRE LINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE VECTORIELLE Titre du cours Pondération : 3-2-3 Unités : 2.67 Durée : 75 périodes Programme : SCIENCES DE LA NATURE Département : MATHÉMATIQUES Professeur-e : PELOPE ADZAKPA Bureau : 426 Poste tél. : 1317 Courriel : padzakpa @cegepgim.ca 1 Présentation générale Ce cours s’adresse principalement aux étudiants du programme des Sciences de la nature. L’atteinte de la compétence nécessite la compréhension des concepts de base de l’algèbre linéaire appliqués aux matrices et aux vecteurs. L’accent sera mis sur la compréhension des concepts et des liens entre la géométrie et l’algèbre, notamment pour décrire des lieux de l’espace. Ce cours se prête à la démonstration de propositions simples portant sur les vecteurs et les matrices. Compétence visée Appliquer les méthodes de l’algèbre linéaire et de la géométrie vectorielle à la résolution de problèmes. Éléments de compétence  Traduire des problèmes concrets sous forme d’équations linéaires.  Résoudre des systèmes d’équations linéaires à l’aide de méthodes matricielles.  Établir des liens entre la géométrie et l’algèbre.  Établir l’équation de lieux géométriques (droites et plans) et déterminer leurs intersections.  Calculer des angles, des longueurs, des aires et des volumes.  Démontrer des propositions.  Construire des représentations de lieux géométriques dans le plan et dans l’espace. Objectifs d’apprentissage Chapitre 1 : Matrices - Utiliser adéquatement la terminologie et les notations associées aux matrices. - Distinguer les différents types de matrices. - Effectuer les opérations d’addition de matrices, de multiplication d’une matrice par un scalaire et de produit de matrices. - Utiliser les propriétés de l’addition de matrices, de la multiplication d’une matrice par un scalaire, du produit matriciel et de la transposée d’une matrice. - Résoudre certains problèmes concrets à l’aide des matrices . 2 Chapitre 2 : Résolution de systèmes d’équations linéaires - Utiliser adéquatement la terminologie et les notations associées aux systèmes d’équations linéaires - Résoudre un système d’équations linéaires par la méthode de Gauss. - Utiliser la méthode de Gauss pour résoudre certains problèmes concrets Chapitre 3 : Déterminants - Calculer le déterminant d’une matrice carrée d’ordre n - Utiliser les propriétés des déterminants - Démontrer certaines propriétés des déterminants. - Utiliser les définitions suivantes : . matrice singulière . matrice adjointe . matrice régulière . matrice inverse . matrice des cofacteurs - Déterminer, si possible, l’inverse d’une matrice par la méthode de la matrice adjointe. - Utiliser les propriétés de la matrice inverse - Démontrer certaines propriétés de la matrice inverse. - Résoudre, si possible, un système d’équations linéaires à l’aide de la règle de Cramer. - Résoudre, si possible, un système d’équations linéaires à l’aide de la méthode de la matrice inverse. Chapitre 4 : Vecteurs géométriques - Utiliser adéquatement la terminologie et les notations associées à la notion de vecteur géométrique. - Effectuer l’addition de vecteurs à l’aide de la méthode du parallélogramme et de la méthode du triangle. - Effectuer graphiquement le produit d’un vecteur par un scalaire. - Déterminer la norme, la direction et le sens d’un vecteur somme. - Utiliser les propriétés de l’addition de vecteurs et du produit d’un vecteur par un scalaire. - Définir et utiliser les notions suivantes : . égalité (équipollence) de vecteurs . vecteur unitaire . opposé d’un vecteur . vecteurs parallèles . vecteur nul . projection orthogonale d’un vecteur . longueur (norme) d’un vecteur - Résoudre des problèmes de géométrie en utilisant la notion de vecteur géométrique - Démontrer des propositions relatives à la notion de vecteur géométrique. 3 Chapitre 5 : Vecteurs algébriques et espaces vectoriels - Définir et utiliser les notions suivantes : . vecteur algébrique . multiplication d’un vecteur par un scalaire . composantes d’un vecteur . norme d’un vecteur . dimension d’un vecteur . vecteur unitaire . égalité de deux vecteurs . espace vectoriel . addition de vecteurs . sous-espace vectoriel - Démontrer et utiliser les propriétés relatives à l’addition de vecteurs et à la multiplication d’un vecteur par un scalaire. Chapitre 6 : Combinaison linéaire, dépendance linéaire, bases et repères - Définir et utiliser les notions suivantes : . combinaison linéaire de vecteurs . repère dans le plan ou l’espace . vecteurs linéairement dépendants ( indépendants) . base orthogonale . vecteurs colinéaires . base orthonormée . vecteurs coplanaires . dimension d’un espace vectoriel . base d’un espace vectoriel -Utiliser certains théorèmes relatifs aux bases d’un espace vectoriel Chapitre 7 : Produits de vecteurs - Définir, sous sa forme géométrique et sa forme algébrique, le produit scalaire de deux vecteurs. - Utiliser les deux définitions du produit scalaire. - Démontrer et utiliser les propriétés du produit scalaire. - Calculer l’angle entre deux vecteurs en utilisant le produit scalaire. - Utiliser le produit scalaire nul comme condition à la perpendicularité de deux vecteurs. - Définir et utiliser la projection orthogonale d’un vecteur sur un autre. - Utiliser le produit scalaire pour résoudre certains problèmes de physique. - Utiliser le produit scalaire pour résoudre certains problèmes de géométrie. - Définir géométriquement et algébriquement le produit vectoriel de deux vecteurs et utiliser ces définitions. - Utiliser le produit vectoriel comme générateur d’un troisième vecteur perpendiculaire aux deux premiers. - Démontrer et utiliser les propriétés du produit vectoriel. - Calculer l’aire d’un parallélogramme ou d’un triangle à l’aide de la norme du produit vectoriel. - Calculer le produit mixte de trois vecteurs. - Démontrer et utiliser les propriétés du produit mixte. - Utiliser la valeur absolue du produit mixte pour calculer le volume d’un parallélépipède ou d’un tétraèdre. - Utiliser le produit mixte nul comme condition de coplanarité de trois vecteurs. 4 Chapitre 8 : La droite dans le plan cartésien - Déterminer l’équation vectorielle, les équations paramétriques, l’équation symétrique et l’équation algébrique (cartésienne) d’une droite à partir d’un point et d’un vecteur directeur ou d’un vecteur normal ; les informations étant fournies explicitement ou implicitement. - Utiliser les différentes formes d’équations d’une droite pour en extraire différentes informations : points, vecteur directeur et vecteur normal. - Déterminer la position relative de deux droites. - Trouver le point d’intersection de deux droites concourantes. - Calculer les angles formés par deux droites. - Calculer les cosinus directeurs et les angles directeurs d’une droite. - Calculer la distance entre un point et une droite. - Calculer la distance entre deux droites parallèles. - Déterminer des lieux géométriques en utilisant la notion de distance. - Représenter des lieux géométriques. Chapitre 9 : La droite dans l’espace cartésien - Déterminer l’équation vectorielle, les équations paramétriques et les équations symétriques d’une droite à partir d’un point et d’un vecteur directeur; les informations étant fournies explicitement ou implicitement. - Utiliser les différentes formes d’équations d’une droite pour en extraire différentes informations : points et vecteur directeur. - Déterminer la position relative de deux droites. - Trouver le point d’intersection de deux droites concourantes. - Calculer les angles formés par deux droites. - Calculer les cosinus directeurs et les angles directeurs d’une droite. - Calculer la distance entre un point et une droite. - Calculer la distance entre deux droites parallèles. - Calculer la distance entre deux droites gauches. - Déterminer des lieux géométriques en utilisant la notion de distance. - Représenter des lieux géométriques. Chapitre 10 : Le plan dans l’espace cartésien - Déterminer l’équation vectorielle et les équations paramétriques d’un plan à partir d’un point et de deux vecteurs directeurs; les informations étant fournies explicitement ou implicitement . - Déterminer l’équation algébrique (cartésienne) d’un plan à partir d’un point et d’un vecteur normal ou d’un point et deux vecteurs directeurs ; les informations étant fournies explicitement ou implicitement. - Utiliser les différentes formes d’équations d’un plan pour en extraire différentes informations : points, vecteurs directeurs et vecteur normal. - Déterminer la position relative de deux plans. - Trouver la droite d’intersection de deux plans sécants. - Calculer les angles formés par deux plans. - Déterminer la position relative d’une droite et d’un plan. 5 - Trouver le point d’intersection d’une droite sécante à un plan. - Calculer l’angle formé par une droite sécante à un plan. - Calculer la distance entre un point et un plan. - Calculer la distance entre deux plans parallèles - Calculer la distance entre un plan et une droite parallèle à ce plan. - Déterminer des lieux géométriques en utilisant la notion de distance. - Représenter des lieux géométriques. Contenu Chapitre 1 : Matrices - Matrices : définitions, dimension, éléments - Matrices particulières : nulle, ligne, colonne, carrée, triangulaire supérieure ou inférieure, diagonale, opposée, identité, symétrique, ... - Égalité de matrices - Addition de matrices : définition et propriétés - Multiplication d’une matrice par un scalaire : définition et propriétés - Produit de matrices : définition et propriétés - Transposée d’une matrice : définition et propriétés - Applications Chapitre 2 : Résolution de systèmes d’équations linéaires - Équations linéaires - Systèmes d’équations linéaires et systèmes équivalents - Résolution de systèmes d’équations linéaires par la méthode de Gauss - Systèmes homogènes d’équations linéaires Chapitre 3 : Déterminants - Déterminant : définition, mineur, cofacteur - Déterminant uploads/S4/ alge-bre-line-aire-et-ge-ome-trie-vectorielle-plan-de-cours.pdf