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Universit´ e Hassan II, Casablanca Ann´ ee 2017-2018 Facult´ e des Sciences Ain

Universit´ e Hassan II, Casablanca Ann´ ee 2017-2018 Facult´ e des Sciences Ain Chock Fili` ere SMPC D´ ept. de Math´ ematiques & Informatique Alg` ebre I Examen - Session Automne Dur´ ee 1 H 30 Exercice 1 (6 points) On consid` ere, dans C, l’´ equation suivante : z3 + 1 = 0. (1) 1. Calculer les solutions z1, z2 et z3 de l’´ equation (1). 2. Soit, pour z ∈C∗, l’´ equation z4 + 1 ¯ z = 0. (2) (a) Montrer que si z v´ eriﬁe (2) alors |z| = 1. (b) En d´ eduire les solutions de l’´ equation (2). 3. On note A, B et C les points d’aﬃxes respectives z1, z2 et z3 calcul´ ees ` a la question 1. Calculer les distances AB, AC et BC. 4. En d´ eduire la nature du triangle ABC. 5. Donner une mesure de l’angle [ AOB. Exercice 2 (5 points) 1. Soit λ ∈R un nombre positif et P le polynˆ ome d´ eﬁni par P = X3 −3X + λ. (a) Calculer les racines du polynˆ ome d´ eriv´ e P ′. (b) D´ eterminer λ pour que le polynˆ ome P = X3 −3X + λ admette une racine double. (c) R´ esoudre, alors, l’´ equation P(x) = 0. 2. Factoriser, dans C[X] et dans R[X], en produit de facteurs irr´ eductibles le polynˆ ome Q = X6 + 1. Exercice 3 (4 points) D´ ecomposer en ´ el´ ements simples les fractions rationnelles suivantes : 1. X5 X4 −1 dans C(X). 2. X + 1 X3(X2 + X + 1) dans R(X). Exercice 4 (5 points) Dans le plan muni du rep` ere orthonorm´ e (O,⃗ i,⃗ j), on consid` ere le cercle C d’´ equation x2 + y2 −2x + 6y + 6 = 0, et la droite D passant par le point A(−1, −3) et dirig´ ee par le vecteur ⃗ u(1, 1). 1. D´ eterminer le centre Ωet le rayon R du cercle C . 2. Donner, pour la droite D, (a) une ´ equation param´ etrique, (b) une ´ equation cart´ esienne, 3. Calculer la distance d(Ω, D), puis l’intersection entre D et le cercle C . 4. Donner l’´ equation de la tangente ` a C au point A. uploads/S4/ controle-final-a17.pdf