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Amérique du Nord mai 2019 EXERCICE 4 Candidats ayant suivi l’enseignement de sp

Amérique du Nord mai 2019 EXERCICE 4 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité 5 points Deux matrices colonnes ( x y) et ( x ' y ') à coefficients entiers sont dites congrues modulo 5 si et seulement si { x≡x '(5) y≡y '(5) . Deux matrices carrées d’ordre 2 ( a c b d) et ( a ' c ' b' d ') à coefficients entiers sont dites congrues modulo 5 si et seulement si { a≡a '(5) b≡b'(5) c≡c'(5) d≡d'(5) . Alice et Bob veulent s’échanger des messages en utilisant la procédure décrite ci-dessous. . Ils choisissent une matrice M carrée d’ordre 2, à coefficients entiers. . Leur message initial est écrit en lettre majuscule sans accent. Remarque : la lettre W est remplacée par les deux lettres accolées V. . Chaque lettre de ce message est remplacée par une matrice colonne ( x y) déduite du tableau ci-dessus : x est le chiffre situé en haut de la colonne et y est le chiffre situé à gauche de la ligne ; par exemple, la lettre T d’un message initial correspond à la matrice colonne ( 4 3) . . On calcule une nouvelle matrice ( x ' y ') en multipliant ( x y) à gauche par la matrice : ( x ' y ') = M( x y) . . On calcule r’ et t’ les restes respectifs des divisions euclidiennes de x’ et y’ par 5. . On utilise le tableau ci-dessus pour obtenir la nouvelle lettre correspondant à la matrice colonne ( r' t' ) . 1. Alice et Bob choisissent la matrice M= ( 1 2 3 4) . 1.a. Montrer que la lettre « T » du message initial est codée par la lettre « U » puis coder le message « TE ». 1.b. On pose P=( 3 1 4 2) . Montrer que les matrices PM et I=( 1 0 0 1) sont congrues modulo 5. 1.c. On considère A et A’ deux matrices carrées d’ordre 2 à coefficients entiers congrues modulo 5 et Z=( x y) Z’= ( x ' y ') deux matrices colonnes à coefficients entiers congrues modulo 5. Montrer alors que les Copyright  meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 1 Amérique du Nord mai 2019 matrices AZ et AZ’ sont congrues modulo 5. Dans ce qui suit on admet que si A et A’ sont deux matrices carrées d’ordre 2 à coefficients entiers congrues modulo 5 et si B et B’ sont deux matrices carrées d’ordre 2 à coefficients entiers congrues modulo 5 alors les les matrices produit AB et A’B’ sont congrues modulo 5. 1.d. On note X=( x1 x2) et Y=( y1 y2) deux matrices colonnes à coefficients entiers . Déduire des questions pré- cédentes que si MX et Y sont sont congrues modulo 5 alors les matrices X et PY sont congrues modulo 5 ; ce qui permet de « décoder » une lettre chiffrée par la procédure utilisée par Alice et Bob avec la ma- trice M choisie. 1.e. Décoder la lettre « D ». 2. On souhaite déterminer si la matrice R= ( 1 2 4 3) peut être utilisée pour coder un message. 2.a. On pose S= ( 2 2 4 4) . Vérifier que la matrice RS et la matrice ( 0 0 0 0) sont congrues modulo 5. 2.b. On admet qu’un message codé par la matrice R peut être décodé s’il existe une matrice T telle que les matrices TR et I soient congrues modulo 5. Montrer que si c’est le cas alors les matrices TRS et S sont congrues modulo 5 ( par la procédure expliquée en question 1.d. pour le codage avec la matrice M). 2.c. En déduire qu’un message codé par la matrice R ne peut être décodé. Copyright  meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 2 Amérique du Nord mai 2019 CORRECTION Remarque : Dans cet exercice W est un mot de deux lettres. 1.a. À la lettre « T » correspond la matrice ( 4 3) . M( 4 3) =( 1 2 3 4) ( 4 3) =( 1×4 + 2×3 3×4 + 4×3) =( 10 24) 10=2×5+0 et 24=4×5+4 M( 4 3) ≡( 0 4) (5) À la matrice ( 0 4) correspond la lettre « U ». Conclusion La lettre « T » est codée par la lettre « U ». . À la lettre « E » correspond la matrice ( 4 0) . M( 4 0) =( 1 2 3 4) ( 4 0) =( 1×4 + 2×0 3×4 + 4×0) =( 4 12) 4=0×5+4 et 12=2×5+2 M( 4 0) ≡( 4 2) (5). À la matrice ( 4 2) correspond la lettre « O ». Conclusion Le message « TE » est codé en « UO ». . Remarque : (résultat non demandé) À la lettre « V » correspond la matrice ( 1 4) . M( 1 4) =( 1 2 3 4) ( 1 4) =( 9 19) 9=1×5+4 et 19=3×5+4 ( 9 19) ≡( 4 4) (5) À la matrice ( 4 4) correspond la lettre « Z ». Conclusion Le message « W » est codé par le message « ZZ ». 1.b. PM=( 3 1 4 2) ( 1 2 3 4) =( 6 10 10 16) . 6=1×5+1 et 10=2×5+0 et 16=3×5+1 ( 6 10 10 16) ≡( 1 0 0 1) (5) PM≡I(5) 1.c. A=( a c b d) A’=( a ' c ' b' d') Z=( x y) Z’=( x ' y ') AZ=( ax + cy bx + dy) A’Z’=( a ' x' + c ' y' b' x ' + d' y ') A≡A '(5) ⇔ { a≡a '(5) b≡b'(5) c≡c'(5) d≡d'(5) Z≡Z'(5) ⇔ { x≡x '(5) y≡y '(5) Copyright  meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 3 Amérique du Nord mai 2019 En utilisant les propriétés sur les congruences somme et produit), on obtient : a x+c y≡a ' x'+c' y '(5) et b x+d y≡b' x '+d ' y '(5) donc AZ≡A' Z'(5) A, A’, B et B’ sont 4 matrices carrées d’ordre 2 à coefficients entiers, on admet que si : { A≡A'(5) B≡B'(5) alors AB≡A' B'(5) 1.d. X=( x1 x2) Y=( y1 y2) On utilise le résultat de la question 1.c. avec A=A’=P ( P≡P(5) ) et Z=MX et Z’=Y ( Z≡Z'(5) ) On obtient : P(M X)≡PY(5) Or P(MX)=(PM)X et PM≡I(5) donc (PM)X≡IX(5) IX=X donc (PM)X≡X(5) Conséquences : X≡PY(5) Connaissant la lettre codée, on détermine sa matrice correspondante Y, puis on calcule PY et on détermine la matrice X congrue à PY puis la lettre initiale correspondante à X. 1.e. Pour la lettre codée « D » correspond la matrice Y=( 3 0) PY=( 3 1 4 2) ( 3 0) =( 9 12) 9=1×5+4 et 12=2×5+2 ( 9 2) ≡( 4 2) (5) La lettre correspondante à la matrice ( 4 2) est la lettre « J ». Conclusion : La lettre décodée de la lettre « D » est la lettre «J ». 2.a. R=( 1 2 4 3) S=( 2 2 4 4) RS=( 2 + 8 2 + 8 8 + 12 8 + 12) =( 10 10 20 20) 10=2×5+0 20=4×5+0 RS ≡( 0 0 0 0) (5) 2.b. A=TR A’=I A≡A '(5) B=B’=S B≡B'(5) donc AB≡A' B'(5) et TRS≡IS(5) or IS=S donc TRS≡S(5) 2.c. Un message codé par la matrice R peut être décodé s’il existe une matrice T telle que TR≡I(5) . Si on suppose qu’il existe une matrice T telle que TR≡I(5) alors TRS≡S(5) . Or TRS=T(RS)=T( 0 0 0 0) =( 0 0 0 0) on doit donc avoir S ≡( 0 0 0 0) (5) Ce résultat est absurde donc l’hypothèse proposée est fausse. Conclusion Il n’existe pas de matrice T telle que TR≡I(5) et un message codé par la matrice R ne peut pas être décodé. Remarque On peut remarquer que les lettres « A »’ « L », « X », « I » et « T » sont codées par la même lettre « A » avec la matrice R ( donc on ne peut pas décoder la lettre « A »). Copyright  meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 4 uploads/S4/ correction-dm-mex.pdf