Département de Mathématiques Cycle ingénieur 1ère année  Génie Mathématiquee S

Département de Mathématiques Cycle ingénieur 1ère année  Génie Mathématiquee Semestre 1  2021-2022 Probabilité Chapitre 2  Variables aléatoires Cas discret et cas continu 2 | Variables aléatoires  Cas discret et cas continu Ce cours est scindé en trois parties : 1. Présenter une caractéristique importante d'une mesure de probabilité : la fonction de répar- tition. 2. Présenter les variables aléatoires dans le cas où Ωest dénombrable. 3. Présenter les variables aléatoires dans le cas où Ω= R. Sommaire 2.1 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Variables aléatoires  Cas Ωdénombrable . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2.1 La loi d'une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.2 Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.3 Espérance mathématique d'une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.4 Variance d'une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Variables aléatoires dans le cas Ω= R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.1 Variable aléatoire réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.2 L'image d'une probabilité par une variable aléatoire . . . . . . . . . . . 12 2.3.3 La fonction de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.4 Intégration par rapport à une mesure de probabilité . . . . . . . . . . . 14 2.1 Fonction de répartition La fonction de répartition caractérise une mesure de probabilité P : (R, B(R)) →[0; 1] On s'intéresse à quelques propriétés dans le cas général Ω= R. Si P est une probabilité sur (R, B(R)), sa fonction de répartition est la fonction réelle F dé nie pour tout x ∈R par F(x) = P (] −∞, x]) . Dé nition 1. 3 Chapitre 2. Variables aléatoires  Cas discret et cas continu 4 La fonction de répartition F caractérise la probabilité, autrement dit, ˆ si P est une probabilité sur (R, B(R)) de fonction de répartition F , ˆ si Q est une probabilité sur (R, B(R)) de fonction de répartition G, ˆ si F = G, alors P = Q. Théorème 1. La probabilité est entièrement connue si on connaît seulement F : on peut donc en principe retrouver P(A) pour n'importe quel borélien A à partir de la fonction F. Une fonction F est la fonction de répartition d'une (unique) probabilité sur (R, B(R)) si et seulement si elle véri e les propriétés suivantes 1. F est croissante ; 2. F est continue à droite ; 3. lim x→−∞F(x) = 0 et lim x→+∞F(x) = 1. Théorème 2. Propriétés 2.1.1. Soit F la fonction de répartition de la probabilité P sur R. En notant F(x−) la limite à gauche de F au point x (qui existe puisque F est croissante), pour tous x < y on a 1. P (]x, y]) = F(y) −F(x). 2. P ([x, y]) = F(y) −F x−1
. 3. P ([x, y[) = F y−1
−F x−1
. 4. P (]x, y[) = F y−1
−F(x). 5. P ({x}) = F(x) −F x−1
. Démonstration . En TD2 :::::::: Exemple ::: 1. Soit f une fonction positive et Riemann-intégrable telle que Z R f(x)dx = 1. La fonction F telle que pour tout x ∈R, F(x) = Z x −∞ f(t)dt dé nit la fonction de répartition d'une probabilité P sur R, en eet ˆ F est croissante : x < y ⇒ Z x −∞ f(t)dt ≤ Z y −∞ f(t)dt par croissance domaniale de l'intégrale. ˆ F est continue (par hypothèse) donc continue à droite. ˆ lim x→−∞F(x) = 0 et lim x→+∞F(x) = Z R f(x)dx = 1. La fonction f est appelée sa densité. (Il n'est pas vrai que toute probabilité sur R admet une densité ; en eet s'il existe une densité alors la fonction F est continue, alors qu'il existe beaucoup de fonctions de répartition discontinues, ainsi que le montre l'exemple suivant.) 5 2.2. Variables aléatoires  Cas Ωdénombrable :::::::: Exemple:: 2. Soit α ∈R. La mesure de Dirac concentrée en α est une mesure de probabilité sur R. Pour A ∈B (R), P (A) = δα (A) = ( 1 si α ∈A 0 si α / ∈A . Calculons la fonction de répartition de δα. ˆ Soit x ∈R. F(x) = P (] −∞, x]) = δα (] −∞, x]) =      1 si α ∈] −∞, x] 0 si α / ∈] −∞, x] ˆ Comme α ∈] −∞, x] ⇔α ≤x ⇔x ≥α ⇔x ∈[α; +∞[ alors F(x) =      1 si x ∈[α; +∞[ 0 si x / ∈[α; +∞[ = 1[α;+∞[(x). ˆ On en déduit que la fonction de répartition de la masse de Dirac concentrée en α est F = 1[α;+∞[. Cette fonction de répartition est discontinue. 2.2 Variables aléatoires  Cas Ωdénombrable Deux objectifs principaux de cette section s'articulent pour : ˆ Dé nir des variables aléatoires sur un espace Ωdénombrables, cet espace étant muni d'une tribu A d'événements et d'une probabilité P : P : (Ω, A) →[0; 1] ⇝Dé nir une mesure de probabilité PX (image de P par X) à partir de P telle que PX : (R, B(R)) →[0; 1]. ⇝Utiliser les caractéristiques d'une mesure de probabilité pour en déduire celles d'une variable aléatoire. ˆ Dé nir l'espérance et la variance puis présenter des propriétés. Nous supposons que l'espace d'états Ωest dénombrable, et nous choisissons pour tribu la classe A = P(Ω) de toutes les parties de Ω. Une variable aléatoire X est dé nie comme une application de Ωdans un ensemble E (a priori arbitraire), X : Ω→E. Dé nition 2 (Une variable aléatoire). Chapitre 2. Variables aléatoires  Cas discret et cas continu 6 Une variable aléatoire représente une quantité qui dépend de l'issue de l'expérience. ˆ L'espace d'arrivée E n'est pas nécessairement dénombrable. Par exemple, si l'expérience consiste à choisir une personne dans une salle et si X(ω) représente la taille de la personne ω alors E = R. ˆ L'image E ′ de Ωpar X, E ′ = X(Ω) = {i ∈E, ∃ω ∈Ωtel que X(ω) = i}, est, quant à elle, nécessairement dénombrable. On dé nit alors une variable aléatoire dans le cas discret comme étant une application qui à une expérience associe un résultat, X : Ω → E ′ ω 7→ X(ω). On munit E ′ de la tribu de toutes les parties P(E ′). On note F = P(E ′). Soit A ∈F. On voudrait dé nir P ({w ∈Ω, X(w) ∈A}) | {z } =X−1(A) . Pour cela, il faut évidemment que l'ensemble X−1(A) soit dans la tribu A, ce qui a priori n'est pas vrai pour une partie arbitraire A de E. Cela motive la dé nition suivante : Soit (Ω, A) un espace mesurable. X : (Ω, A) →  E ′, F  est une variable aléatoire si et seulement si X est une fonction mesurable. Dé nition 3 (Variable aléatoire). 2.2.1 La loi d'une variable aléatoire On peut dé nir la loi de X, notée par PX, appelée aussi la distribution de X, par PX(A) = P X−1(A)
, ∀A ∈F. PX dé nit une mesure de probabilité sur E ′ muni de la tribu de toutes ses parties F, en eet ˆ PX(E ′) = P  X−1(E ′) | {z } =Ω  = P (Ω) = 1, car P est une mesure de probabilité sur Ω. ˆ Soit (An)n∈N ∈FN une suite d'événements disjoints 2 à 2. PX  S n∈N An  = P  X−1  S n∈N An  = P  S n∈N X−1 (An)  = X n∈N P X−1 (An)
, car P est σ-additive et X−1 (An) sont disjoints 2 à 2. Il s'en suit que PX [ n∈N An ! = X n∈N PX (An) . 7 2.2. Variables aléatoires  Cas Ωdénombrable ::::::::: Exemple.: On lance deux fois de suite un dé et on note X la variable aléatoire égale à la somme des deux dés. Alors Ω= {(1, 1), (1, 2), uploads/S4/ cours2-probabilite.pdf

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• Détails
• Publié le Oct 10, 2022
• Catégorie Law / Droit
• Langue French
• Taille du fichier 0.4693MB