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Dénombrement et probabilités 1. Listes d'éléments d'un ensemble fini...........

Dénombrement et probabilités 1. Listes d'éléments d'un ensemble fini............... p2 4. Applications aux probabilités........................... p8 2. Combinaisons................................................... p5 3. Formule du binôme.......................................... p6 Copyright  meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Dénombrement et probabilités 1. Liste d'éléments d'un ensemble fini 1.1. factorielle d'un entier naturel Définition : Si n est un entier naturel supérieur ou égal à 2, on nomme factorielle n et on note n! , l'entier naturel égal au produit de tous les entiers naturels de 1 à n , c'est à dire : n!=1×2×3×…×n . Par convention, 0!=1 et 1!=1 . Exemples : 8!=1×2×3×4×5×6×7×8=40320 7! 4!=1×2×3×4×5×6×7 1×2×3×4 =5×6×7=210 1.2. Définition Soit E un ensemble non vide fini, p est un entier naturel non nul. On nomme p- liste d'éléments de E, toute liste (x1; x2;…; x p) où x1 ; x2 ;... ; x p sont tous éléments de E. (On note l'ensemble des p-listes de E : Ep). 1.3. Proposition n et p sont deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2. E est un ensemble de cardinal n . L'ensemble des p-listes de E a pour cardinal : n p . 1.4. Exemples a) On jette plusieurs fois une pièce de monnaie. E={P;F} (pile;face) n=card{E}=2 • p=3 card E3 =23=8 On représente E3 à l'aide d'un arbre. Copyright  meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 2 Dénombrement et probabilités • p=10 card E10=210=1024 b) On jette plusieurs fois un dé cubique numéroté de 1 à 6. E={1;2;3;4;5;6} n=card{E}=2 • p=2 card E2 =62=36 (On représente en général E2 à l'aide d'un tableau à double entrée, mais on peut aussi le représenter à l'aide d'un arbre.) • p=4 card E4 =64=1296 1.5. p-listes d'éléments de E deux à deux distincts a) Exemple E={A;B;C;D} On considère les 2-listes d'éléments deux à deux distincts de E. Copyright  meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 3 Dénombrement et probabilités Il y a 12 2-listes d'éléments deux à deux distincts de E. Remarque : 12=4×3 b) Proposition E est un ensemble fini de n éléments (n⩾1) . Pour tout entier naturel p tel que 1⩽p⩽n , le nombre des p-listes d'éléments de E deux à deux distincts est : n(n−1)…(n−p+1)= n! (n−p)! (p facteurs) Démonstration : Pour le premier élément de la liste, il y a n possibilités. Pour le deuxième élément de la liste, il y a (n-1) possibilités. (nombres d'éléments de E distincts du premier élément). Donc, pour les deux premiers éléments, il y a n(n−1) possibilités. Etc... Pour le pième élément de la liste, il y a n−( p−1)=n−p+1 possibilités. Donc, le nombre de p-listes d'éléments deux à deux distincts de E est : n(n−1)…(n−p+1) . Or, n! (n−p)!=1×2×…×(n−p)(n−p+1)…(n−1)n 1×2×…×(n−p) =(n−p+1)…(n−1)n 1.6. Permutations a) Définition n est un entier naturel non nul. On nomme permutation d'un ensemble E de n éléments toute n-liste d'éléments de E deux à deux distincts. b) Proposition n est un entier naturel non nul. Le nombre de permutations d'un ensemble fini E de n éléments est n! . Démonstration : Le nombre de n-listes d'éléments deux à deux distincts de E est : n(n−1)×…×(n−n+1)=n(n−1)×…×1=n! c) Exemple E={1;2;3} n=3 Copyright  meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 4 Dénombrement et probabilités Le nombre de permutations de E est 3!=3×3×1=6 Les 6 permutations de E sont : 1;2 ;3 1;3 ;2 2;1;3 2;3;1 3;1;2 3;2;1 d) Anagramme On nomme anagramme d'un mot toute permutation des lettres de ce lot, ayant un sens ou non en français. Exemple On considère le mot : MARIE (ici 5 lettres distinctes deux à deux distinctes) E={M;A;R;I;E} Il y a 5! anagrammes du mot MARIE 5!=5×4×3×2×1=120 MAIRE ou AIMER sont deux anagrammes du mot ayant un sens en français. MREIA est une anagramme du mot n'ayant pas de sens en français. 2. Combinaisons 2.1. Définition E est un ensemble fini de cardinal n. p est un entier naturel tel que 0⩽p⩽n . On nomme combinaison de p éléments de E toute partie de E ayant p éléments. 2.2. Exemple E={A;B;C;D} card E=n=4 {A;B;C} est une combinaison de 3 éléments de E (donc p=3) Remarques : • Une combinaison n'est pas ordonnée. • Il existe 3!=6 3-listes d'éléments distincts deux à deux de E contenant les éléments de la combinaison {A;B;C} (c'est le nombre de permutations de {A;B;C}. Copyright  meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 5 Dénombrement et probabilités 2.3. Notation Le nombre de combinaisons de p éléments d'un ensemble de n est noté ( n p) . On lit p parmi n . 2.4. Proposition n et p sont deux entiers naturels tels que 0⩽p⩽n , on a : ( n p)=n(n−1)×…×(n−p+1) p! = n! p!(n−p)! . Démonstration Combinaisons de p éléments de E. 1 ( n p) p-listes de p éléments de E deux à deux distincts. p! n! n−p! On a un tableau de proportionnalité. ( n p)= n! p!(n−p)! 2.5. Exemple Pour le loto, on choisit 6 numéros parmi 49 de 1 à 49. Le nombre de possibilités distinctes de remplir le ticket de jeu est : 49! 6!(49−6!)= 49! 6!43!=44×45×46×47×48×49 1×2×3×4×5×6 =44×3×46×47×49=13583816 3. Formule du binôme 3.1. Propriétés ( n 0)=1 Nombre de parties de E ayant 0 éléments : 1 seule : ∅. ( n n)=1 Nombre de parties de E ayant n éléments : 1 seule : E. ( n 1)=n Nombre de parties de E ayant 1 élément : n. ( n p)=( n n−p) ( n p)= n! (n−p)! p!= n! p!(n−p)!=( n n−p) Copyright  meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 6 Dénombrement et probabilités 3.2. Formule de Pascal n est un entier naturel non nul et p est un entier naturel tel que : 0⩽p⩽n−1 . On a : ( n p)+( n p+1)=( n+1 p+1) Démonstration : ( n p)+( n p+1)= n! p!(n−p)!+ n! ( p+1)!(n−p−1)! ( n p)+( n p+1)= n! p!(n−p−1)![ 1 n−p + 1 p+1] ( n p)+( n p+1)= n! p!(n−p−1)![ p+1+n−p (n−p)( p+1)] ( n p)+( n p+1)= n!(n+1) p!( p+1)(n−p−1)!(n−p) ( n p)+( n p+1)= n!(n+1) ( p+1)!(n−p)! ( n p)+( n p+1)=( n+1 p+1) 3.3. Triangle de Pascal On peut donc déterminer pour une valeur de n fixée les nombres ( n k) avec 0⩽k⩽n en utilisant un tableau à double entrée et la formule de Pascal. On obtient un triangle. Copyright  meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 7 Dénombrement et probabilités En particulier, en utilisant la formule de Pascal, on passe de n=3 à n=4 en utilisant : 3.4. Formule du binôme a et b sont deux nombres réels (ou deux nombres complexes) et n un entier naturel non nul, on a : (a+b) n=a n+( n 1)a n−1b+( n 2)a n−2b 2+…+( n p)a n−pb p+…+b n Démonstration : Le développement de (a+b) n=(a+b)×(a+b)×…×(a+b) est une somme de (n+1) termes dont chacun est le produit de n facteurs de a ou b (c'est à dire des termes de la forme a n−p×b p avec 0⩽p⩽n ) Le coefficient de a n−p×b p est( n p) (car on choisit b dans p facteurs (a+b) et a dans (n-p) facteurs (a+b). Remarque : a n=( n 0)a nb 0 et b n=( n n)a 0b n 4. Applications aux probabilités 4.1. Jeux de cartes On considère un jeu de 32 cartes ; On extrait au hasard et simultanément 5 cartes du jeu (on dira que l'on extrait une main de 5 cartes). a) Combien de mains de 5 cartes peut-on extraire du jeu ? Le nombre de mains de 5 cartes que l'on peut extraire du jeu est le nombre de parties de 5 éléments d'un ensemble de 32 éléments, donc : ( 32 5 )= 32! 5!27!=201376 . Copyright  meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 8 Dénombrement et probabilités b) Soit A l'événement : on extrait une une main de 5 cartes contenant exactement un roi. Calculer la probabilité de A. Les tirages s'effectuent au hasard donc la loi est équirépartie. card A=( 4 1)×( 28 4 ) Car dans le jeu de 32 cartes il y a 4 rois et 28 cartes qui ne sont pas des rois. card A=4× 28! 4!24!=81900 p( A)= 81900 201376=2925 7192≈0,407 c) Soit B l'événement : on extrait une main de 5 cartes contenant au moins un roi. Calculer la probabilité de B. On considère B : «on extrait une main de 5 cartes ne contenant aucun roi » (c'est à dire 5 cartes parmi les 28 cartes qui ne sont pas des rois). card B=( 28 5 )= 28! 5!23!=98280 P(B)= 98280 201376=1755 3596 P(B)=1−P (B)=1−1755 3596=1841 3596≈0,512 d) Soit C l'événement : on extrait une main de 5 cartes contenant exactement un cœur. Calculer la probabilité de C. Dans le jeu de cartes, il y a 8 cœurs et 24 cartes distinctes d'un cœur. card C=( 8 1)×( 24 4 )=8× 24! 4!20!=85008 P(C)= 85008 201376= 759 1798≈0,422 e) Soit D l'événement : on extrait une main de 5 cartes contenant au moins un cœur. Calculer la probabilité de D. On considère D : «on extrait une main de 5 cartes ne contenant aucun cœur » uploads/S4/ denombrement-cours.pdf