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PROBLEME 1 PARTIE A On considère la fonction f définie et dérivable sur R par (

PROBLEME 1 PARTIE A On considère la fonction f définie et dérivable sur R par ( ) 2 3 x f x e x     .On note ( C ) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal   ; , O i j  du plan. 1. a. Déterminer la limite de la fonction f en . b. Montrer que la droite ( D ) d’équation 2 3 y x   est asymptote à la courbe ( C ) en +∞. 2. a. Montrer que pour tout réel x on a l’égalité suivante :   ( ) 1 2 3 x x x f x e xe e     b. En déduire lim ( ) x f x  (on utilisera le fait que lim 0 x x xe   ). 3. a. Déterminer f ′(x) et montrer que pour tout réel x, 2 1 '( ) x x e f x e   En déduire le signe de f ′(x) sur R . b. Dresser le tableau de variations de f sur R . 4. Montrer que l’équation ( ) 0 f x  admet une unique solutionsur l’intervalle[1; 2 ]. Donner une valeur approchée de  . 5. On considère le point A de la courbe ( C ) d’abscisse ln3  . a. Calculer la valeur exacte de l’ordonnée du point A. b. On note (T ) la tangente à la courbe ( C ) au point A. Montrer que le coefficient directeur de la droite ( T ) est −1. Déterminer l’équation de ( T ). 6. Construire avec soin la courbe ( C ) et les droites (D). PARTIE B 1. Vérifier que la fonction F définie sur R par 2 ( ) 3 x F x e x x     est une primitive de f sur R . 2. Soit (E ) le domaine du plan délimité par la courbe (C ), l’axe des abscisses et les droites d’équation 1 x  et 1 x  . Hachurer le domaine (E ).Soit (A) l’aire du domaine (E ) en unités d’aire, calculer la valeur exacte de (A).Donner une valeur approchée de (A) à 2 10 près. PROBLEME 2 PARTIE A : ETUDE D’UNE FONCTION On note f la fonction définie sur l’ensemble R des nombres réels par : 2 1 1 ( ) 2 4 x f x x e    .On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthogonal ( ; ; ) O i j  , d’unités 4 cm en abscisses et 10 cm en ordonnées. 1. Étude des limites de la fonction f a. Déterminer la limite de f en +∞· b. Justifier que 2x 2x 2x 1 1 f(x) e xe e 1 2 4           et en déduire la limite de f en . c. Démontrer que la droite D d’équation 1 1 2 4 y x   est asymptote à la courbe C en +∞, et préciser la position de la courbe C par rapport à la droite D. 2. Étude des variations de la fonction f a. Déterminer l’expression de la dérivée f ′ de la fonction f · b. Résoudre l’inéquation 2 1 4 x e  et en déduire le tableau des variations de la fonction f . c. Déterminer l’équation de la tangente T à la courbe C en son point d’abscisse 0. d. Montrer que l’équation 1 ( ) 2 f x  possède une unique solution sur l’intervalle [1;2] . Justifier avec précision et donner un encadrement d’amplitude 2 10de cette solution. 3. Tracer, dans le repère ( ; ; ) O i j  , les droites D et T , puis tracer la courbe C PARTIE B : CALCUL D’UNE AIRE 1. Soit m un nombre réel strictement supérieur à ln2. On note ( ) m A l’aire, exprimée en unité d’aire, du domaine plan délimité par la courbe C , la droite D et les droites d’équations ln 2 x  et x m  . Déterminer ( ) m A en fonction de m. 2. Calculer la limite de ( ) m A lorsque m tend vers · PREPABAC TEST 8 EPREUVE DE MATHEMATIQUES : SERIE G2 ANNEE SCOLAIRE : 2011-2012 DUREE : 3 HEURES uploads/S4/ devoir-9 1 .pdf