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Exercice 1 (5pt) Soit ABC un triangle quelconque tel que BC = a ; AC = b et AB

Exercice 1 (5pt) Soit ABC un triangle quelconque tel que BC = a ; AC = b et AB = c. Soit I le milieu de [BC] et G le barycentre des points pondérés (A ; -1) ; (B ; 1) ; (C ; 1). 1. a) Calculer AB2 + AC2 en fonction de AI2 et BC2. En déduire que AG2 = –a2 + 2b2 + 2c2. b) Ecrire de même les expressions de BG2 et de CG2. c) Montrer que : –AG2 + BG2 + CG2 = a2 – b2 – c2. 2. A tout point M du plan, on associe le réel (M) = –MA2 + MB2 + MC2. a) Déterminer l’ensemble (E) des points M tels que (M) = a2. b) Construire (E) pour a = 5 ; b = 4 ; c = 3. Exercice 2 (5pts) 1. En utilisant les formules d’addition, exprimer les sommes suivantes en fonction de : cosa, cosb, sina et sinb : cos(a + b) + cos(a – b) ; cos(a + b) – cos(a – b) ; sin(a + b) + sin(a – b) ; sin(a + b) – sin(a – b). (0,5pt4) On pose a + b = p et a – b = q. Démontrer les égalités suivantes : cos p + cos q = 2 cos ( p+q 2 )cos( p−q 2 ) . (0,25pt) cos p – cos q = –2 sin ( p+q 2 )sin( p−q 2 ) . (0,25pt) sin p + sin q = 2 sin ( p+q 2 )cos( p−q 2 ) . (0,25pt) sin p – sin q = 2 cos ( p+q 2 )sin( p−q 2 ) . (0,25pt) 2. Application : transformer cosx + cos3x puis résoudre dans , l’équation  : cosx + cos2x + cos3x = 0. (0,5pt) 3. Résoudre de même : sinx + sin2x + sin3x = 0 puis cosx + cos2x + cos3x + cos4x. (0,75pt+1pt) Problème (10pts) 1.On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie par : f (x )=−x 2+2x+3 x+2 .On note (C)la courbe représentative de f dans le repère(o ; ⃗ i;⃗ j). a) Détermine l’ensemble de définition D de f b) Calculer les limites de f aux bornes de D c) Déterminer les réels a , b , c tels que : f (x )=ax+b+ C x+2 , ∀x∈D d) Déduire que (C) admet une asymptote oblique dont on déterminera l’équation puis préciser l’autre asymptote e) Détermine les coordonnées du point J intersection des asymptotes . f) Montrer que le point A(-2 ; 6) est le centre de symétrie de (C) g) Etudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation . CPL‟LA BRUYERE” DEVOIR SURVEILLE DU SECOND SEMESTRE A/S : 2020-2021 Classe : 1ere 20 BP : 153 Agoè-Logopé EPREUVE DE MATHEMATIQUES Durée : 3H Coéf : 3 2.Soit la fonction h définie par :h (x )= x 2+2 x−3 x−2 a) Détermine l’ensemble de définition Dh b) Compare h(-x) et f(x) pour x ∈Dh c) Explique comment obtenir la courbe (C') à partir de (C) d) Construire (C') dans le repère précédent Exercice 1(4pts) On pose : A=∫ 0 π e x cos 2xdx et B=∫ 0 π e xsin 2 xdx 1. Calculer A+B 2. Montrer queB−A=∫ 0 π e x cosaxdx où a est un réel à déterminer 3. Déterminer les valeurs exactes de A et B Exercice 2 (5pts) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O,⃗ u,⃗ v) 1.Soit f la transformation du plan qui ,à tout point M(z),associe le point M’(z’) tel que : z '=( 1 2 +i √3 2 )z. a)Préciser la nature de f, ainsi que les éléments caractéristiques. b) Déterminer l’affixe a’ du point A’ image de A(√3+i¿ par f. 2) Soit h l’homothétie de centre A’ et de rapport 3 2. a)Déterminer l’affixe ω du point Ω image de O par h b) soit B(-2+i(√3-1)) .Montrer que (Ω B )⊥(Ω A ). c) En déduire que B et A sont sur un même cercle .Préciser son rayon et son centre soit g la transformation du plan qui à tout M(z) associe M’(z’) tel que z '=√3-i+(1+2+i√3 2 )z. a)Montrer que g admet un unique point invariant. b) Montrer que g st la rotation de centre A et d’angle π 3 Problème (11pts) Le plan étant muni d’un repère orthonormé R = (O, i → , j → ) ; on considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie par : { f (x )=x e x−x si x≤0 f (x )=2 x (−1+lnx)si x>0 Partie A Soit g la fonction définie sur ]- ; 0] par g(x) = xex – x. 1. Calculer lim x↦−∞g(x). CPL‟LA BRUYERE” DEVOIR SURVEILLE DU SECOND SEMESTRE A/S : 2020-2021 Classe : TleD 20 BP : 153 Agoè-Logopé EPREUVE DE MATHEMATIQUES Durée : 3H30Coéf : 3 2. a) Pour tout nombre réel x élément de l’intervalle ]- ; 0], calculer g’(x) et g’’(x) (g’ et g’’ sont respectivement les fonctions dérivées première et seconde de g). b) Démontrer que la courbe représentative (C g) de g admet un point d’inflexion I dont on précisera les coordonnées. c) Dresser le tableau de variation de la fonction g’ ; en déduire le signe de g’(x). Partie B 3. Quel est l’ensemble de définition de f ? 4. Démontrer que f est continue en 0. 5. a) Etudier la dérivabilité de f en 0. En déduire une interprétation géométrique. b) Calculer f’(x) pour tout x ]0 ; +[ et étudier son signe. 6. Dresser le tableau de variation de f. 7. Soit  l’application définie par :  : J  f(J) x ↦(x) = f(x), où J = [1 ; +[. a) Démontrer que  est une bijection (soit -1 la bijection réciproque de ). b) Prouver que la fonction dérivée première (-1) de -1 est positive sur f(J). Partie C (C f) est la courbe représentative de la fonction f, dans le repère R. 8. Justifier que la droite () d’équation y = -x est une asymptote oblique à (C f) en -. 9. Calculer x→+∞ lim f ( x) x et conclure. 10. (C h) désigne la courbe représentative de la fonction h définie par h(x) = -f(x). Construire les courbes (C f) et (C h) et les tangentes en 0 sur une même figure. 11. Soit H(x) = ∫1 x h(t)dt ,  x  J. a) La fonction H étant définie et continue sur J, calculer H(e). En donner une interprétation géométrique. b) Calculer en cm2, l’aire A du domaine plan délimité par (C f) et (C h) et les droites d’équations x = 1 et x = e. Exercice 1 (4pts) 1.a) calculer (√2−2) 2 et (√2−1) 2 puis déduire une écriture simplifiée de √6−4 √2 et √3−2√2 .(1pt) b) calculer M=√6−4 √2+√3−2√2 (0.5pt) 2.On désigne par a et b les réels tels que a=¿ √3+2√2 et b=√3−2√2 a) calculer le produit a×b.Que dire de a et b? (1pts) b) On pose U =a+b et V=a−b. Calculer U 2 et V 2 . En déduire U et V . (1pt) c) Donner une expression simple de a et b. (0.5pt) Exercice 2(5ts) L’unité de longueur est le centimètre les points A,O ,F ,et C sont alignés dans cet ordre tels que AC=15; AO=OF=3; BO=6.Les droites (BO) et ( AC ) sont perpendiculaires. 1.Faire la figue que tu complèteras au fur et à mesure (1.5pt) 2.a) calculer AB et BC (1pts) b) montrer que les droites ( AB)et (BC )sont perpendiculaires (0.5pt) 3. Construire le cercle (C)de diamètre [ FC] qui recoupe la droite (BC)en H. a) Montrer que le triangle FHC estrectangle puis montrer que les droites ( AB)et (FH ) sont parallèles. (1pt) b) Calculer CF et CH (1pts) Exercice 3 (6pts) On considère les polynômes : F=3(x−1) 2−x 2+1+(x+2)(x−1) et G=9x 2−4. 1.Developpe, réduis et ordonne F suivant les puissances decroissantes de x déduire le degré de F. (1pt) 2.Factorise Fet G. (1.5pt) 3.On considère la fraction rationnelle H= (x−1)(3 x−2) (3x−2)(3 x+2) a) Quelle est la condition d’existence d’une valeur numérique de H ? (0.75pt) b) Simplifier H lorsqu’elle existe. (0.75pt) c)Pour quelle(s) valeurs de x a-t-on H=0 puis H=1 ? (1pt) d) calculer la valeur numérique de H pour x=√2et pour x=2 3 . (1pt) Exercice 4 (5pt) L’unité de longueur est le centimètre. Soit un triangle ABC rectangleen A tel que AB=3et AC=9. Jest le milieu du segment [BC ] ,I est un point du point segment [ AC ]tel que IC=5. 1.Faire la figure (1.5pt) 2.a) calcule BC et BI. (1pt) b) que représente la droite (IJ ) pour le segment[BC ].En déduire la nature du triangle IJC. (1pt) 3.La droite parallèle à ( AB) passant par I coupe (BC) en E. Calculer EC , EI , EJ. (1.5pt) CPL‟LA BRUYERE” DEVOIR SURVEILLE DU SECOND SEMESTRE A/S : 2020-2021 Classe : 3ème 20 BP : 153 Agoè-Logopé EPREUVE DE MATHEMATIQUES Durée uploads/S4/ devoir-21 1 .pdf