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Maths 1S1 Devoir sur continuité(1S1) Durée : 2h Exercice 1 : Soit f la fonction

Maths 1S1 Devoir sur continuité(1S1) Durée : 2h Exercice 1 : Soit f la fonction x 7→x −1 − p x −√x (x −1)2 1) Déterminer le domaine de dé ni- tion Df de f. 2) Déterminer le domaine de continuité Dc de f. 3) Calculer lim x→1+ f(x) et lim x→+∞f(x). Exercice 2 : Soit f la fonction dé nie sur ]0; +∞[ par f(x) = x 1 + cos( π x) 1-a) Montrer que f est continue sur ]0; +∞[. 1-b) La fonction f est-elle prolongeable par continuité à droite en 0 ? 2-a) Déterminer limx→+∞f(x). 2-b) Déterminer limx→+∞(f(x) −2x) et interpréter graphiquement ce résultat. 3-a) Montrer que f est strictement crois- sante sur [1; +∞[. 3-b) Montrer que l'équation f(x) = 1 admet une unique solution α dans et véri er que α ∈]1; 2[ 3-c) Montrer que sin( π α) = √2α −1 α . Exercice 3 : Soit f la fonction dé nie par f(x) =                    cos x x2 + 1 si x < 0 x −2 x2 −3x + 2 si 0 ≤x < 2 √ x2 −3 si x ≥2 1) A l'aide d'un encadrement convenable, trouver limx→−∞f(x). 2) Etudier la branche in nie de f en +∞. 3) Etudier la continuité de f sur R. Exercice 4 : Soit f la fonction dé nie par f(x) =        x + cos(πx) x −1 si x < 1 √ x2 + x + 2 −x si x ≥1 1) Déterminer le domaine de dé nition de la fonction f. 2-a) Montrer que limx→+∞f(x) = 1 2 2-b) Montrer que ∀x < 1 on a : x + 1 x −1 ≤f(x) ≤1. 2-c) En déduire limx→−∞f(x) 3-a) Montrer que ∀x < 1 on a : 1 + cos(πx) x −1 = 1 −cos(π(x −1)) x −1 . 3-b) En déduire limx→1 f(x) (On pourra poser U(x) = π(x −1)) 3-c) Montrer que f est continue en 1. 4-a) Montrer que l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution α dans ] −1 2; 0[ 4-b) Montrer que sin(πα) = − √ 1 −α2 1 uploads/S4/ devoir-continuite.pdf