Lycée OUED-ELLIL  EXERCICE Corrigé : fonctions EXP ET LN –intégrale CLASSE : 4

Lycée OUED-ELLIL  EXERCICE Corrigé : fonctions EXP ET LN –intégrale CLASSE : 4iéme secondaire /SECTION : sciences expérimentales PROF :BELLASSOUED Mohamed /Année scolaire 2019-2020 EXERCICE 8.5 points Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,i, j)

Première Partie Soit la fonction f définie sur   0; par x x e 1 f(x) e 1    et Cf sa courbe représentative. 1-Montrer que x 0 lim f(x)    et x lim f(x) 1   . 2- a-Justifier que f est dérivable sur  0;et que x x 2 2e f (x) (e 1)     b-Dresser le tableau de variations de f 3-a-Montrer que f réalise une bijection de   0, sur un intervalle J que l’on précisera . On note 1 f  La fonction réciproque de f . b-Montrer que pour tout x J , 1 x 1 f (x) Ln x 1           4-Soit g la fonction définie sur   0, par   g(x) Ln f(x)   x x e 1 ln e 1         a-Montrer que x 0 lim g(x)    et x lim g(x) 0   . Interpréter graphiquement les résultats b-Justifier que g est dérivable sur  0; et que x 2x 2e g (x) e 1     c- Justifier que g réalise une bijection de   0, sur    0, . On note 1 g  La fonction réciproque de g . d-Montrer que pour tout x    0, , 1 g (x) g(x)   deuxième Partie Dans la figure 1 si dessous on a : Cf et Cg Les deux courbes représentatives de f et g respectivement . La partie grise est la partie du plan limitée par Cf ; Cg et les droites : x 3   et : x 4    La partie hachurée en rouge est la partie du plan limitée par Cg ; les droites : x 3   ; : x 4    et l’axe des abscisses . Cg coupe et  respectivement en A et B et Cf coupe  et  respectivement en D et C . 1-Tracer sur la feuille annexe la courbe de La fonction réciproque 1 f  2-Montrer que x x x x e e f(x) e 1 1 e       3-On désigne par A1 l’aire de la partie du plan limitée par Cf ; les droites : x 3   ; : x 4    et l’axe des abscisses . a-Montrer que A1 4 3 e 1 2ln 1 e 1                 (u.a) b-On désigne par A2 l’aire de la partie rouge . On assimilant la partie grise à un losange ABCD de coté 1;déduire une valeur approchée à 4 10prés de A2 BAC BLANC /4iémeSciences expérimentales 1 1/1 Mai 2019 1 f C  Première Partie     2 x x x 0 x 0 0 e 1 lim f(x) lim e 1        ր ց Or x x e 1 donc e 1 0  ≻ ≻ par suite     x x x x e 1 lim f(x) lim : FI e 1        ր ց  x x x x x x x x x 1 1 e 1 1 1 e e lim f(x) lim lim 1 1 1 1 e 1 1 e e                                      2- a-f est dérivable sur  0;comme quotient de deux fonctions dérivables sur  0;           x x x x x 2x x 2x x x 2 2 2 x x x x e e 1 e e 1 e 1 e e e e 2e f (x) e 1 e 1 e 1 e 1                           x 2 x 2e f (x) e 1     3- a-f est strictement décroissante sur  0;donc f est une bijection de  0;sur     f 0; Comme f est continue sur   0;alors     f 0; est un intervalle J de même nature ; ainsi       0 f 0; lim f;lim f 1; J             b-     f : 0; 1;   ;     1 f : 1; 0;    Soit x   0, et y    0, 4- g la fonction définie sur   0, par   g(x) Ln f(x)    x 0 x 0 lim g(x) lim ln f(x)      ; or x 0 lim f(x)    et x lim ln x   Donc d’après le théorème des limites composées on aura x 0 lim g(x)      x x lim g(x) lim ln f(x)    ; or x 0 lim f(x) 1    et x 1 lim ln x 0   Donc d’après le théorème des limites composées on aura : x 0 lim g(x)    La droite x 0  est asymptote verticale à Cg a droite en 0 La droite y 0  est asymptote horizontale à Cg au voisinage de 4-b-f est dérivable sur  0;et f(x) 0 ≻ donc g est dérivable sur  0; . Ainsi pour pour tout x    0, BAC BLANC /4iémeSciences expérimentales 1 1/2 Mai 2019     1 y y y y y y y y y y f (x) y signifie f(y) x e 1 signifie x e 1 signifie x e 1 e 1 signifie xe x e 1 signifie xe e x 1 signifie e x 1 x 1 x 1 signifie e x 1 x 1 signifie y ln x 1                               1 x 1 f (x) Ln x 1           x 0 lim f(x)    x lim f(x) 1                2 x 2 x 2 x x x x x x 2 x x x 2x x x e 1 2e e 1 f (x) 2e e 1 2e 2e g (x) Ln f(x) e 1 f(x) e 1 e 1 e 1 e 1 e 1 e 1                              x 2x 2e g (x) e 1     4-c- pour tout x   0; x 2x 2e 0 et e 1 0   ≻ ≻ donc 0 ≺ g est strictement décroissante sur  0; ; donc g réalise une bijection de  0;sur     g 0; Comme g est continue sur   0;alors     g 0; est un intervalle de même nature ; ainsi pour pour tout x    0, ,       0 g 0; lim g;lim g 0;             b-     g : 0; 0;   ;     1 g : 0; 0;    Soit x   0, et y    0, Deuxième Partie 1-voir graphique si dessous 2- x x x x x e 1 e 1 f(x) e 1 e 1 e 1        Or ; d’ou 3-a- f(x) 0  d’où A1 4 4 x x x x 3 3 e e f(x)dx dx e 1 1 e                Ainsi x    0, , 1 g (x) g(x)   Or et par suite : Ainsi A1 b-ABCD est un trapèze uploads/S4/ exercice-corrige 6 .pdf

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• Publié le Oct 01, 2021
• Catégorie Law / Droit
• Langue French
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