Lyc´ ee Majida Boulila Sfax Devoir de Contrˆ ole n°2 3Maths M Jarraya Maher Dat
Lyc´ ee Majida Boulila Sfax Devoir de Contrˆ ole n°2 3Maths M Jarraya Maher Date 01/03/21- Dur´ ee : 2H Exercice n° 1 Dans la figure page 3 , O, − → i , − → j est un rep` ere orthonorm´ e , (Cf ) est la courbe repr´ esentative d’une fonction f d´ efinie sur R ∖{1}. • La droite ∆′ : y = −1 est une asymptote ` a (Cf )au voisinage de +∞; • La droite ∆′′ : x = 1 est une asymptote ` a (Cf ) • La droite ∆: y = −x est une asymptote ` a (Cf )au voisinage de au voisinage de −∞ • La courbe Cf admet une tangente horizontale au point A(4, 0) 1 a Par lecture graphique d´ eterminer lim x→+∞f (x) , lim x→−∞f (x) et lim x→−∞f (x) + x b D´ eterminer f ′(2) , f ′(4), lim x→5+ f (x) −1 x −5 et lim x→5− f (x) −1 x −5 . c Donner une approximation affine de f (1.9) 2 Soit la fonction g d´ efinie par g(x) = x2 f (x) a D´ eterminer f ′ d(−1) et f ′ g(−1).La fonction f est elle d´ erivable en −1? b Etudier la d´ erivabilit´ e de g en −1 .interpr´ eter g´ eom´ etriquement 3 Soit la fonction h d´ efinie par ( h(x) = f (x) : x ≥2 h(x) = −1 6 x −11 3 + p x2 + 5 : x < 2 a Montrer que h est d´ erivable en 1 b Donner l’´ equation de la tangente ` a Ch au point d’abscisse 1 Exercice n° 2 • A) Soit la fonction d´ efinie par f d´ efinie sur [0, +∞[ par f (x) = p x2 + 4x + x + 2 1 Montrer que la droite ∆: y = 2x + 4 est une asymptote ` a la courbe de f 2 a Etudier la d´ erivabilit´ e de f ` a droite en 0. b Montrer que f est d´ erivable sur ]0, +∞[ et que f ′(x) = x + 2 √ x2 + 4x + 1 c D´ eterminer le r´ eel a de ]0, +∞[ tels que la tangente ` a C f soit parall` ele ` a la droite D y = ( √ 2 + 1)x −1 d Soit A(0, 1) etB(m, √ 2) ou m est param` etre r´ eel non nul .D´ eterminer m pour que la droite (AB) soit perpendiculaire ` a la tangente T • B) Soit la fonction g d´ efinie par g(x) = p x2 + 4x + x + 2 : x ≥0 g(x) = 2 −x r 1 −2 x : x < 0 . 1 Montrer que la droite ∆:y = −x + 3 est une asymptote oblique ` a la courbe de g au voisinage de −∞ M. Jarraya Maher © 01/03/21 1/3 3Maths ? Devoirs ? 21 2 a Montrer que g est continuit´ e en 0. b Etudier la d´ erivabilit´ e de g en 0; Interpr´ eter graphiquement les r´ esultats 3 Montrer que g est d´ erivable sur ] −∞, 0[ et que pour tout r´ eel x ∈] −∞, 0[ on a g′(x) = x −1 √ x2 −2x Exercice n° 3 Soit O, − → i , − → J est un rep` ere orthonorm´ e direct du plan orient´ e, soit θ ∈] −π 2 ; π 2 [. 1 Soient A(1, − √ 3) et B le point tel que OA = 2OB et \ − → OA, − → OB ≡π 4 [2π]. a D´ eterminer les coordonn´ ees polaires du point A et construire les points A et B. b D´ eterminer les coordonn´ ees polaires du point B. c Calculer cos( π 12) et sin( π 12) et en d´ eduire les coordonn´ ees cart´ esiennes du point B. 2 Soient les points M(−cosθ, sinθ) et N(sin2θ, cos2θ) . a D´ eterminer les coordonn´ ees polaires des points M et N. b D´ eterminer une mesure − − → OM, − → ON en fonction de θ c D´ eterminer θ tels que le triangle OMN soit ´ equilat´ eral direct. Exercice n° 4 1 a Montrer que pour r´ eel x on a √ 3cos(2x) −sin(2x) = 4cos2(x + π 12) −2 b En d´ eduire que cos( π 12) = √ 6 + √ 2 4 2 On pose pour tout x ∈]−π 2 , π 2 [∖ nπ 4 o par A(x) = cos(x) + sin(x) cos(x) −sin(x) a Montrer que A(x) = tan(x + π 4 ) b Montrer alors que tan( π 12) = 2 − √ 3 3 a Montrer que pour tout x ∈]−π 2 , π 2 [∖ π 4 , −π 4 on a A(x) = 1 + sin(2x) cos(2x) b R´ esoudre dans ] −π 2 , π 2 [ on a 1 + sin(2x) = √ 3cos(2x) 4 R´ esoudre dans ] −π 2 , π 2 [ on a (2 − √ 3)cos(2x) + sin(2x) = 1 M. Jarraya Maher © 01/03/21 2/3 3Maths ? Devoirs ? 21 Devoir contrˆ ole n°2 M. Jarraya Maher © 01/03/21 3/3 3Maths ? Devoirs ? 21 uploads/S4/ devoir-controle-n2 2 .pdf
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- Publié le Sep 25, 2021
- Catégorie Law / Droit
- Langue French
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