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1 Tél : +216 29 862 229 / +216 29 862 464 - Email : contact@takiacademy.com Répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse 1°) Si u la suite définie sur IN* par   1 1 3 n k n k k k u           alors : a) 3 2 9 u  . b) La suite   2n u est croissante. 2°) La suite v définie sur IN par     1 1 2 1 n n n n v n     est convergente. 3°) Les suites u et v définies sur IN* par 1 1 n u n   et 2 3 1 n v n   sont adjacentes. 1°) On considère, dans l’équation    2 : 2 1 4 0 E z i z i     a) Montrer que le discriminant  de l’équation  E est égal à   2 6 1 i  . b) Résoudre l’équation  E 2°) Soit 2 2 : 2 4 0 i i E z e z e       où   0,    . Vérifier que   1 1 3 i z e i    est une solution de   E En déduire l’autre solution 2 z . 3°) a) En déduire une écriture exponentielle de chacune des solutions de l’équation  E . b) Déterminer alors la valeur exacte de cos12  . 4°) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct   , , O u v . a) Résoudre dans l’équation   4 ' : 1 3 E z i  . b) On a tracé sur le graphique au-dessous la courbe 4 : y x   pour 0 x  . Construire alors, sur le même graphique, les points images de toutes les solutions de   ' E . EXERCICE N°1 : 10' 3 points EXERCICE N°2 : 35' 6 points Magazine 02 DEVOIR DE SYNTHESE N°1 BAC 2 +216 29 862 229 / +216 29 862 464 - Email : contact@takiacademy.com Soit g la fonction définie et deux fois dérivable sur IR ainsi que le tableau de variation de la fonction ' g dérivée de g . On admet que  1 " 2 g x  . 1°) a) Déterminer le tableau de signe de ' g . b) Par une lecture du tableau de variation, déterminer, s’ils existent, les points d’inflexion de la courbe de g (en justifiant). 2°)  Soit f la fonction définie sur   0, par :  2 f x x x   .  Soit h la fonction définie sur   ,5  par :   ' h x f g x  .  La courbe de h admet un point d’intersection avec la droite d’équation y x  d’abscisse   1,4  . a) Montrer que h est dérivable sur ] −∞, 5]. b) Déterminer  lim x h x  et  5 h . c) Montrer que pour tout   ,5 x ,    1 ' " 1 ' h x g x g x           . d) Dresser le tableau de variation de h. e) Montrer que  1 ' 2 h x  pour tout   1,4 x . 3°) Soit   n u la suite définie par :   0 1 0 n n u u h u         a) Montrer que pour tout n IN  , 1 4 n u   . b) Montrer que pour tout n IN  , 1 1 2 n n u u      . c) En déduire que pour tout n IN  , 2 1 2 n n u     . d) Déterminer alors lim n n u  . e) Déterminer un encadrement de  d’amplitude 0.5 sachant que 4 1,2 u  . EXERCICE N°3 : 35' 6 points 3 Tél : +216 29 862 229 / +216 29 862 464 - Email : contact@takiacademy.com Soit f la fonction définie sur   1,   par  2 1 f x x   . f C étant sa courbe représentative dans un repère orthonormé   , , O i j 1°) a) Montrer que f est dérivable sur   1,  et que pour tout 1 x  ,    3 1 ' 1 f x x    b) Dresser le tableau de variation de f. 2°) On a tracé ci-dessous la courbe f C et la droite : 8 y x    . Placer sur l’axe   , O i le réel  abscisse du point de f C d’ordonnée 3 2 . 3°) Soit g la fonction définie sur   0,3 par     sin g x f x   . g C étant sa courbe représentative dans le même repère orthonormé   , , O i j . a) Montrer que g est dérivable sur   0,3 et calculer  ' g x . b) Calculer  g  et  ' g  . c) Dresser le tableau de variation de g. d) Utiliser la droite  pour construire les demi-tangentes à g C aux points d’abscisses 0 et 3. e) Tracer g C . EXERCICE N°4 : 30' 5 points uploads/S4/ devoir-de-synthese-n01-enonce.pdf