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Exercice1 Le plan est muni d’un repère orthonormé direct  , , O i j . La figu

Exercice1 Le plan est muni d’un repère orthonormé direct  , , O i j . La figure ci-contre est la représentation graphique (C) d’une fonction f définie sur   0,et telle que les droites x = 0 et D sont des asymptotes à (C). Utiliser le graphique pour répondre aux questions suivantes: 1. Déterminer ( ) x f x lim x  , 1 ( ) 2 xlim f x x         et   ( ) xlim f x x   2. Déterminer: 2 0 1 x x lim f x         , (2 ) x f x lim x  et 0 1 ( ) ( ) xlim f x sin f x          . 3. Soit  la fonction définie sur 0, 2        par :   ( ) x f tanx   a) Montrer que  est continue sur 0, 2        . b) Montrer que 2 ( ) 2 xlim x f x  , en déduire 2 2 ( ) x lim tanx x           . Exercice 2 Soit la fonction f définie par : 2 ( ) 4 2, 0 ( ) 1 , 0 f x x x x f x x cos x x                     . 1. a) Montrer que pour tout 0, 0 ( ) 2 x f x x   . b) Montrer que f est continue en 0. 2. Calculer ( ) xlim f x  . Interpréter graphiquement le résultat. 3. a) Déterminer ( ) xlim f x  . b) Montrer que pour tout 1 0, ( ) 2 cos x x f x x x            . c) Calculer alors   ( ) 2 xlim f x x   .Quelle conséquence graphique obtient-on ? Lycée pilote de Tunis Devoir de contrôle 1 Terminales S-Exp Mr Ben Regaya. A + éléments de corrections www.ben-regaya.net (D) (C) 2 3 4 5 -1 2 3 4 5 -1 0 1 1 x y 4. Soit la fonction g définie sur   2,  par   ( ) 2 g x f x    . a) Montrer que g est continue sur   2,  . b) Montrer que l’équation 1 ( ) 2 g x  admet au moins une solution dans   2,2  . Exercice 3 Dans le plan complexe muni du repère orthonormé direct, on considère les points A et B d’affixes respectives 2 et (−2) et on définit l’application f qui tout point M d’affixe z et différent de A associe le point d’affixe . 1. a) Déterminer l’affixe du point P’ image par f du point P d’affixe . b) Vérifier que les droites (AP) et (BP′) sont parallèles et que les droites (AP) et (PP′) sont perpendiculaires. 2. Déterminer l’ensemble des points invariants par f. 3. a) Montrer que pour tout nombre complexe z distinct de 2, est réel. b) Montrer que les droites et sont parallèles. 4. Soit M un point quelconque non situé sur la droite (AB). Généraliser les résultats de la question 1.b) 5. Soit M un point distinct de A. Déduire des questions précédentes une construction du point image de M par f. Réaliser une figure pour le point Q d’affixe 3 – 2i. Exercice 4 Soient a et b deux complexes tels que 1 ab , on pose alors 1 a b z ab    . Montrer que 1 1 1 z a ou b    ' M   2 ' 2 z z z z      1 i  ' 2 2 z z     AM   ' BM ' M Exercice1 1. La droite D à pour équation 1 1 2 y x  donc ( ) 1 2 x f x lim x   , 1 ( ) 1 2 xlim f x x          et   0 1 1 ( ) ( ) 2 2 x x lim f x x lim f x x x                  . 2. 2 0 1 x x lim x         et ( ) xlim f x  donc par composée 2 0 1 x x lim f x         . On a :   2 (2 ) 2 2 f x f x x x   . 2 xlim x  et ( ) 1 2 x f x lim x   donc par composée (2 ) 1 (2 ) 1 2 2 x x f x f x lim lim x x     . 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) sin f x f x sin f x f x               0 1 0 ( ) x lim f x    et  0 1 x sin x lim x   donc par composée 0 1 ( ) 1 ( ) xlim f x sin f x           . 3. a) La fonction tangente est continue sur 0, 2        et a valeurs dans   0,et comme f est continue sur   0, alors est continue sur 0, 2        . b) 1 2 ( ) 2 ( ) 2 1 2 2 x x lim x f x lim f x x                2 ( ) 2 tanx x tanx f tanx     et comme 2 x lim tanx        et 2 ( ) 2 xlim x f x  alors par composée 2 2 ( ) 2 x lim tanx x           . Exercice2 1. a) Pour 0, x ( ) 1 f x x cos x                et on sait que pour 0, 1 1 x cos x           0 1 2 cos x           et comme 0 x , on obtient 0 ( ) 2 f x x   . b) La restriction de f à   ,0  est définie par 2 ( ) 4 2 f x x x     qui est continue en tout réel de cet intervalle en particulier a gauche en 0. Continuité a droite en 0 : 2 (0) 0 4 0 2 0 f     Lycée pilote de Tunis Devoir de contrôle 1 Terminales S-Exp Mr Ben Regaya. A éléments de corrections www.ben-regaya.net Pour 0 x , on a 0 ( ) 2 f x x   et 0 2 0 x lim x    donc par comparaison 0 ( ) 0 (0) x lim f x f     donc f est continue à droite en 0. Conclusion f est continue en 0. 2. Pour 2 2 2 2 2 4 4 0; ( ) 4 2 2 2 4 4 x x x f x x x x x x x               et comme 2 4 xlim x    alors 2 4 xlim x   et par somme 2 4 xlim x x    et par quotient 2 4 0 4 xlim x x     .Ainsi ( ) 2 xlim f x  . La droite d’équation 2 y  est une asymptote a la courbe de f au voisinage de - ∞ . 3. a) Pour 0; ( ) 1 x f x x cos x                0 xlim x    et 0 1 x lim cosx  donc par composée 1 xlim cos x         et par produit ( ) uploads/S4/ devoir-de-controle-1-s-exp-2018.pdf