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LYCEE PILOTE MONASTIR DECEMBRE 2O1O MATHEMATIQUES Durée  « 2H » PROF : MOHAMED

LYCEE PILOTE MONASTIR DECEMBRE 2O1O MATHEMATIQUES Durée  « 2H » PROF : MOHAMED BENZINA 3èmeT N.B :  il sera donné une grande importance à la rédaction et à la présentation de la copie  EXERCICE N°1 ( 4 points ) Soit f la fonction définie et dérivable sur l’intervalle [ 3 2 − ; 3] dont la représentation graphique, dans un repère orthonormé (O, I , J )    est la courbe (Cf) ci-dessus. 1)a) Donner f ’(0), f ’(1) et f ’(2) et ( ) ) ( ) 0 ( 1 lim 1 x f f f x − − − → b) Déterminer une équation de la droite ∆. 2) Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation f (x) = 1 sur l’intervalle [ 3 2 − ; 3] 3) f est la dérivée d’une fonction F définie sur l’intervalle [ 3 2 − ; 3]. En justifiant la réponse, donner le sens de variation de F. 4) Pour tout x∈ [ 3 2 − ; 3], f ’(x) = ax (x – 2), a étant une constante réelle. Déterminer a à l’aide des résultats de la question 1. a). EXERCICE N°2 ( 6 points ) Soit f la fonction définie par: f(x) =      > + − + ≤ − − 0 1 1 0 2 1 2 x si x x x x si x 1) Montrer que f est continue en 0 2) Etudier la dérivabilité de f en 0. Interpréter les résultats obtenus 3) a) Dresser le tableau de variations de f b) En déduire que f(0) est un minimum absolu de f sur IR 4) Soit D la droite d’équation 4 1 − = y x a) Résoudre dans IR l’équation f ' (x) = 4 1 − b) En déduire qu’il existe une tangente T à (Cf) parallèle à D dont on donnera une équation cartésienne 5) a) Résoudre dans IR l’équation f(x) = 0 b) Donner le signe de f(x) pour tout x de IR 6) Soit m un réel strictement négatif. Montrer que f '(m)cos2x - sin2x – 1 ≠0 pour tout réel x EXERCICE N°3 ( 6 points ) 1) On pose pour tout réel x, f(x)= 1+ cos2x + 3 sin2x a) Montrer que 2sin(x+ 6 π )= cosx + 3 sinx b) En déduire que f(x) = 4cosx.sin(x+ 6 π ), puis déduire la valeur de cos 12 π c) Résoudre dans IR puis dans      − 2 , 2 π π l’équation f(x)=0 2) Soit g la fonction définie sur      − 2 , 2 π π par g(x) = x x x 2 sin 3 2 cos 1 2 cos 1 + + + ; On pose E=      − 2 , 2 π π \      −6 π a) Montrer que pour tout x dans E , g(x)= ) 6 sin( 2 cos π + x x . En déduire que cotg12 π = 2+ 3 b) Résoudre dans IR l’équation : (2+ 3 )cosx+sinx = 0 c) Résoudre dans IR l’inéquation : (2+ 3 )cosx+sinx > 0 EXERCICE N°4 ( 4 points ) Dans le plan orienté, On considère un triangle équilatéral ABC tel que π π k AC AB 2 3 ) , ( + = . On pose AB=a et D le point tel que BD=a et Z k k BC BD ∈ + − = , 2 2 ) , ( π π 1) Déterminer la mesure principale de ) , ( AC AD 2) Soit C '=SB(C). Quelle est la nature du triangle ACC' ? 3) a) Déterminer les coordonnées des points A,C et C' dans le repère ) , , ( BD BC B b) Déduire que (AC) est perpendiculaire à (AC') c) Déterminer a pour que l’aire du triangle ABC' soit égale à 3 3 cm2 2010/2011 LPM PROF :BENZINA.M uploads/S4/ devoir-de-synthese-n01-lycee-pilote-math-3eme-tech-2010-2011-mr-benzina.pdf