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Devoir de maths 7C 30/01/2015 4 heures Proposé par l’association des amis de ma

Devoir de maths 7C 30/01/2015 4 heures Proposé par l’association des amis de maths (AMIMATHS) Page 1/2 جمعية أصدقاء الرياضيات ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES DEVOIR DE MATHS Niveau : 7C Durée : 4h Proposé le 30 Janvier 2015 de 8h à 12h Exercice 1 (4 points) Soit 0, 2       et  E l’équation :     2 i 2i z 3 i ze 2 1 i e 0       . 1° a) Résoudre  E , on note z'et z''les solutions telles que z' z''  . b) Mettre sous forme exponentielle le nombre z''. 2° Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé  O ; u , v . On considère les ponts A,B,Cd’affixes respectives   i i i 2e , 1 i e ,ie     . a) Montrer que les droites    OA , OC d’une part et  BO ,  BA d’autre part sont perpendiculaires. b) Pour 0, 2       , placer les points A,B,C. c) Montrer que OABCest un trapèze rectangle. d) Montrer que l’aire du quadrilatère OABCest indépendante de . Exercice 2 (4 points) Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 7 . On pose 4 n p 1  . 1° a) Montrer que l'on a :  p 1 3  ou  p 1 3  . b) En déduire que n est divisible par3 . 2° a) Vérifier que p est impair. En justifier qu'il existe un entier naturel k tel que   p² 1 4k k 1   . b) En déduire que n est divisible par16. 3° a) Quel sont les restes possibles de p modulo5 ? b) En déduire que5 divisen . c) Soit a etbdeux entiers naturels premiers entre eux. Montrer que sia etbdivisentc alorsabdivisec . d) En déduire que 240 divisen . Exercice 3 (6 points) Partie A Soit g la fonction définie sur   0 ;  par    2 g x x x 2   . 1° Dresser le tableau de variations de g sur   0 ; . 2° Démontrer que l’équation  g x 4  admet, sur   0 ; , une unique solution  dont on donnera une valeur approchée à 1 10. 3° En déduire la résolution de l’inéquation  g x 4  sur   0 ; . Partie B Soit f la fonction définie sur par  2 x 2 f x x x    et (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité 1 cm). 1° Etudier la parité de f . Devoir de maths 7C 30/01/2015 4 heures Proposé par l’association des amis de maths (AMIMATHS) Page 2/2 2° Déterminer  x 0 lim f x   et  x lim f x  , en déduire  x 0 limf x   et  x lim f x  . Peut-on en déduire une ou plusieurs droites asymptotes à la courbe (Cf) ? 3° Démontrer que la droite (D) d’équation y x 1  est asymptote à la courbe (Cf) en , en déduire l’équation d’une droite asymptote à (Cf) en . 4° a) Démontrer que f est dérivable sur les intervalles   ; 0  et   0 ;  puis que   2 2 2 g x 2 f '(x) x x 2    . b) Déduire de la partie A que  f ' x 0  sur ;     . c) En déduire les variations de f sur   0 ;  puis sur . Dresser le tableau de variations complet de f sur . 5° Déterminer une équation de la tangente (T) à (Cf) au point d’abscisse 2 . 6° Tracer la courbe (Cf) en vous aidant de tous les renseignements obtenus précédemment. Exercice 4 (6 points) On considère la fonctionf définie surI , 2 2         par :  1 sinx f x ; x cosx 2 f 0 2                   . 1° a) Montrer quef est continue à gauche de 2 . b) Montrer quef est dérivable à gauche de 2 et déterminer g f ' 2        . 2° a) Montrer que pour tout x I , on a :  1 f ' x 1 sinx    . b) Montrer quef est une bijection de I sur un intervalle J à déterminer. On notegla fonction réciproque def . Calculer  g 0 et  g 1 . c) Montrer que l’équation  f x x  admet une solution uniquetel que : 6 4      . d) Tracer les courbes  f C ,  g C . 3° a) Montrer que x I ,    2 1 sinx f x 1 sinx    . Exprimersinxen fonction de    2 f x . b) Montrer quegest dérivable sur J et que  2 2 g' x 1 x    . 4° Soit h la fonction sur  0,1 par :   1 x h x g x g 1 x          pour   x 0,1  et  h 1 2   . a) Montrer queh est continue sur de  0,1 . b) Montrer queh est dérivable sur  0,1 et calculer  h' x . En déduire l’expression de  h x . 5° On considère la suite  n u définie par : n n k 0 1 1 u g n n k            pourn   . a) Montrer que pour toutn   , n n 1 1 n 1 1 g u g n n n 2n                   . b) En déduire que  n u est convergente vers. Fin uploads/S4/ devoiramimath7c1-2015.pdf