2013/2014 Lyc´ ee EL ALIA [ DEVOIR DE SYNTH` ESE N° 1 \ 4° Maths dur´ ee : 3 he

2013/2014 Lyc´ ee EL ALIA [ DEVOIR DE SYNTH` ESE N° 1 \ 4° Maths dur´ ee : 3 heures Exercice 1 (3 points ) Voir la correction Pour chaque proposition choisir l’unique bonne r´ eponse. Aucune justification n’est demand´ ee. 1. Soit f une fonction continue sur [0, 2], d´ erivable sur ]0, 2[ et telle que f(0) = f(2) alors : a) f est constante sur [0, 2] b) f′ s’annule sur [0, 2] c) f s’annule sur [0, 2] 2. Soit f une fonction d´ erivable sur R telle que pour tout x ∈R, f′(x) = 1 1 + x2 et g la fonction d´ efinie sur ]0, +∞[ par g(x) = f 1 x  alors : a) g′(x) = x2 1 + x2 b) g′(x) = 1 x2(1 + x2) c) g′(x) = −1 1 + x2 3. Soit n ∈N. L’application f de P dans P qui ` a tout point M(z) associe M′(z′) telle que z′ = ei nπ 3 z + 2 est une translation si et seulement si, a) n est multiple de 3 b) n est multiple de 6 c) n est multiple de 12 Exercice 2 (3 points ) Voir la correction La courbe Cf repr´ esent´ ee ci-contre est la courbe repr´ esentative d’une fonction f d´ efinie sur [−5, 2]. On sait que f est continue sur [−5, 2] et d´ erivable sur [−5, 2[. Sur la figure sont trac´ ees les tangentes ` a Cf au points d’abscisses respectives −5, −2, 0 et 2. 1. D´ eterminer graphiquement : f′ d(−5), f′(−2), f′(0),(f ◦f)′(0) et lim x→2− f(x) −5 x −2 2. En d´ eduire la limite suivante : lim x→1 f 2x2 −2
+ 2 x −1 3. a) Montrer que f r´ ealise une bijection de [−5, 2] sur un inter- valle J que l’on pr´ ecisera. b) D´ eterminer f−1(−2) et f−1
′ (−2) c) f−1 est-elle d´ erivable en -3 ? Justifier. d) ´ Etudier la d´ erivabilit´ e de f−1 ` a droite en -4 et ` a gauche en 5. 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 -1 -2 -3 -4 -5 b b b b Exercice 3 ( 4 points ) Voir la correction I- R´ esoudre dans C l’´ equation (Eα) : z2 −(1 + i) eiα z + iei2α = 0 avec α ∈[0, 2π]. II- Dans le plan complexe muni d’un rep` ere orthonorm´ e direct  O, − → u , − → v  , on consid` ere les points M1 et M2 d’affixes respectives z1 et z2 avec z1 = eiα et z2 = ieiα. 1. Montrer que le triangle OM1M2 est rectangle et isoc` ele en O. 2. Soit I le milieu du segment [M1M2]. - 1/2 - Prof: Lahbib Ghaleb & Lahbib Mohamed 2013/2014 Lyc´ ee EL ALIA [ DEVOIR DE SYNTH` ESE N° 1 \ 4° Maths dur´ ee : 3 heures a) Montrer que, lorsque α varie sur [0, 2π], le point I varie sur le cercle C de centre O et de rayon √ 2 2 . b) Montrer que la droite (M1M2) est tangente ` a C. 3. On suppose que α ∈[0, π]. a) Montrer que  \ − → u , − − − − − → M1M2  ≡α + 3π 4 [2π]. b) En d´ eduire la valeur de α pour laquelle la droite (M1M2) est parall` ele ` a l’axe  O, − → v  . Exercice 4 ( 5 points ) Voir la correction Soit la fonction f d´ efinie sur ]1, +∞[ par f(x) = 1 + x √ x2 −1 . On d´ esigne par Cf sa courbe repr´ esentative dans un rep` ere orthonorm´ e  O, − → ı , − →   . 1. a) Montrer que lim x→+∞f(x) = 2 et lim x→1+ f(x) = +∞. Interpr´ eter graphiquement ces r´ esultats. b) Montrer que f est d´ erivable sur ]1, +∞[ et que pour tout x ∈]1, +∞[, f′(x) = −1 (x2 −1) √ x2 −1 . c) Dresser le tableau de variation de f. d) Montrer que pour tout x ∈[2, 3], |f′(x)| ⩽ 1 3 √ 3 . 2. a) Montrer que l’´ equation f(x) = x admet une unique solution α et que α ∈]2, 3[. b) Tracer dans le rep` ere  O, − → ı , − →   la courbe Cf. 3. a) Montrer que f r´ ealise une bijection de ]1, +∞[ sur un intervalle J que l’on pr´ ecisera. b) Montrer que f−1(x) = x −1 √ x2 −2x pour tout x ∈J. c) Tracer la courbe Cf−1 dans le mˆ eme rep` ere  O, − → ı , − →   . Exercice 5 ( 5 points ) Voir la correction Dans le plan orient´ e, on consid` ere un rectangle ABCD de centre O tel que :  \ − − → AB , − − → AD  ≡π 2 [2π] et AB = 2AD. On d´ esigne par I et J les milieux respectifs de [AB] et [CD]. 1. a) Montrer qu’il existe un unique d´ eplacement f tel que f(A) = C et f(I) = J. b) Caract´ eriser f. 2. Soit g = R(I, π 2 )of a) Montrer g est une rotation dont on pr´ ecisera l’angle. b) D´ eterminer g(A) et g(I). c) En d´ eduire que le centre Ωde g est le milieu de [ID]. 3. Soit h l’antid´ eplacement tel que h(A) = C et h(I) = J. a) Montrer que h(B) = D. b) Soit E = h(C). Montrer que DJ = DE et que  \ − − → DJ , − − → DE  ≡π 2 [2π]. c) En d´ eduire que D est le milieu du segment [AE]. d) Montrer alors que h est une sym´ etrie glissante de vecteur − − → AD et d’axe (IJ). - 2/2 - Prof: Lahbib Ghaleb & Lahbib Mohamed 2013/2014 Lyc´ ee EL ALIA [ Correction du devoir de synth` ese n° 1 \ 4° maths 1 Correction de l’exercice: 1 ( Q.C.M ) Retour ` a l’´ enonc´ e 1. f est continue sur [0, 2] , d´ erivable sur ]0, 2[ et f(0) = f(2) alors, d’apr` es le th´ eor` eme de Rolle, il existe c ∈]0, 2[ tel que f′(c) = 0. La r´ eponse correcte est alors (b) . 2. g = f ◦u avec u : x 7− →1 x. ! u est d´ erivable sur ]0, +∞[, ! f est d´ erivable sur R, ! u (]0, +∞[) ⊂R. Alors g est d´ erivable sur ]0, +∞[ et pour tout ]0, +∞[, g′(x) = f′(u(x)) × u′(x) = 1 1 + 1 x
2 ×  −1 x2  = x2 1 + x2 ×  −1 x2  = −1 1 + x2 . Ainsi la r´ eponse correcte est (c). 3. Soit n ∈N et f l’application de P dans P qui ` a tout point M(z) associe M′(z′) telle que z′ = ei nπ 3 z + 2. f est une translation ⇐ ⇒ei nπ 3 = 1 ⇐ ⇒nπ 3 = 2kπ ; k ∈N ⇐ ⇒n = 6k ; k ∈N. La r´ eponse correcte est b. Correction de l’exercice: 2 Retour ` a l’´ enonc´ e 1. f′ d(−5) = 0, f′(−2) = 0 et f′(0) = 1 2. (f ◦f)′(0) = f′[f(0)] × f′(0) = f′(−2) × f′(0) = 0 × 1 2 = 0. lim x→2− f(x) −5 x −2 = lim x→2− f(x) −f(2) x −2 = +∞. 2. f 2x2 −2
+ 2 x −1 = f 2x2 −2
+ 2 2x2 −2 × 2x2 −2 x −1 . On pose X = 2x2 −2 alors ( x →1 = ⇒X →0 ). lim x→1 f 2x2 −2
+ 2 2x2 −2 = lim X→0 f (X) + 2 X = lim X→0 f (X) −f(0) X = f′(0) = 1 2. lim x→1 2x2 −2 x −1 = lim x→1 2(x −1)(x + 1) x −1 = lim x→1 2(x + 1) = 4. lim x→1 f 2x2 −2
+ 2 x −1 = 4 × 1 2 = 2 3. a) f est continue et strictement croissante sur [−5, 2] alors elle r´ ealise une bijection de [−5, 2] sur f ([−5, 2]) = [−4, 5]. b) f−1(−2) = 0 et f−1
′ (−2) = 1 f′[f−1(−2)] = 1 f′(0) = 1 1 2 = 2. c) f−1(−3) = −2. f est d´ erivable en −2 et f′(−2) = 0 alors Cf admet en A(−3, −2) une tangente horizontale donc Cf−1 admet en B(−2, −3) une tangente verticale alors f−1 n’est pas d´ erivable en −3. d) f−1(−4) = −5. f est d´ erivable ` a droite en −5 et f′ d(−5) uploads/S4/ devoir-de-synthese-n1-avec-correction-math-bac-mathematiques-2013-2014-mr-lahbib.pdf

Documents similaires

1° Pour tout entier naturel n non nul, on considère la fonction fn définie sur 0 0

Chapitre 7 Courbes paramétrées Objectifs – Définition d’une courbe paramétrée et 0 0

EXERCICE N : 1 ( 3 points ) Le tableau ci-dessous, donne la dépense en millions 0 0

PROCEDURES ET FONCTIONS PROCEDURES ET FONCTIONS 2 Présentation Il arrive fréque 0 0

UNIVERSITE MOHAMED V ECOLE SUPERIEURE DE TECHNOLOGIE DE SALE Département TM :TC 0 0

UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/ 6 . . OFFICE DU BACCALAUREAT BP 5005-DA 0 0

Le Jeu de Rôle des Gnomes Un Mini-Jeu de Rôle pour Très Jeunes Joueurs Illustra 0 0

Correction Nom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0

tkz-euclide 1.16 c AlterMundus AlterMundus Alain Matthes http://altermundus.fr 0 0

Master BioInformatique Ann´ ee : 2012/2013 Semestre de d´ ecembre 2012 PARCOURS 0 0

• Détails
• Publié le Mar 27, 2022
• Catégorie Law / Droit
• Langue French
• Taille du fichier 0.1439MB