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Année Scolaire 2019 – 2020 MATHÉMATIQUES MPSI3 DS N˚5 Samedi 18/01/2020 (4h) Le

Année Scolaire 2019 – 2020 MATHÉMATIQUES MPSI3 DS N˚5 Samedi 18/01/2020 (4h) Les candidats sont invités à composer avec une encre sufﬁsamment visible (en bleu foncé ou en noir par exemple), le bleu pâle est à proscrire. Les candidats sont également invités à porter une attention particulière à la qualité de leurs raisonnements ainsi qu’à la rédaction (les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées). La référence des questions doit obligatoirement être mentionnée et les résultats doivent être encadrés . La calculatrice, les formulaires et les téléphones sont interdits. Problème 1 Les parties I et II sont indépendantes. Partie I : Une caractérisation du pgcd Soit f : N∗×N∗→N∗une application vériﬁant trois hypothèses :        (H1) ∀a ∈N∗, f (a,a) = a (H2) ∀(a,b) ∈N∗×N∗, f (a,b) = f (b,a) (H3) ∀a,b ∈N∗×N∗, f (a,b) = f (a,a +b) Le but de cette partie est de déterminer f . Q1) Calculer f (4,6) (en justiﬁant chaque étape du calcul). Q2) Montrer que pour tout n ∈N∗, f (n,1) = 1. Q3) Montrer que pour tout a ∈N∗et n ∈N∗, f (a,an) = a. Q4) Soient a,b,r ∈N∗et q ∈N, tels que a = bq +r. Montrer que f (a,b) = f (b,r). Q5) Soient a,b ∈N∗, démontrer à l’aide de l’algorithme d’Euclide que f (a,b) = pgcd(a,b). Partie II : Valuation p-adique Si p est un nombre premier et n ∈N∗, on note vp(n) (valuation p-adique de n) le plus grand entier naturel k tel que pk | n, c’est aussi l’exposant de p dans la décomposition de n en facteurs premiers. On rappelle qu’un entier n ∈N∗ divise un entier m ∈N∗si et seulement si pour tout nombre premier p, on a vp(n) ⩽vp(m). Q6) Exemples et propriétés sur les valuations. a) Déterminer v2(12), v3(540), v7(51), v11(3630). b) Soit n ∈N∗et p premier, soit k ∈N, démontrer que : vp(n) = k ⇐ ⇒∃q ∈N, n = pk × q avec p ∤q 1 c) Pour (n,m) ∈(N∗)2 et p premier, démontrer que vp(nm) = vp(n)+ vp(m). d) Soit n ∈N∗et p premier, montrer que vp(n) ⩽Kn,p où Kn,p = j ln(n) ln(p) k . Q7) Soit n ∈N∗et p premier. a) Soit m ∈N∗, démontrer que le nombre de multiples de m dans l’intervalle 1;n est de ¥ n m ¦ . b) Soit k ∈N, on note np,k que le nombre d’entiers dans l’intervalle 1;n dont la valuation p-adique vaut exactement k. Démontrer que np,k = j n pk k − j n pk+1 k . Que vaut np,k lorsque k > Kn,p ? Q8) Calcul de vp(n!). Soit n ∈N∗et p premier. a) Justiﬁer que vp(n!) = n P i=1 vp(i). b) Démontrer que vp(n!) = Kn,p P k=1 k × ³j n pk k − j n pk+1 k´ . c) En déduire la formule (L) suivante : vp(n!) = Kn,p P k=1 j n pk k . d) Dans la pratique la formule (L) est souvent écrite ainsi : vp(n!) = +∞ P k=1 j n pk k , justiﬁer. e) Soit k ∈N, démontrer que j n pk+1 k = $ j n pk k p % . f) En déduire un code en python pour la fonction val(p,n) où p désigne un premier et n un naturel non nul, qui calcule et renvoie la valeur de vp(n!). Q9) Un exemple : nombre de zéros... Calculer v2(2020!) et v5(2020!). En déduire le nombre de zéros à la ﬁn de 2020!. Q10) Un autre exemple : coefﬁcients binomiaux... Soient n,m ∈N∗. a) Soient x et y deux réels, montrer que ⌊x⌋+ ¥ y ¦ ⩽ ¥ x + y ¦ . b) Soit p un nombre premier, démontrer que vp(n!)+ vp(m!) ⩽vp((n +m)!). c) En déduire que (n+m)! n!m! ∈N. Problème 2 : Analyse Partie I : Limites - équivalents Q1) Calculer (si elles existent) les limites suivantes : a) lim x→1 3 p 3x −2− p 2−x 1−tan( πx 4 ) . b) lim x→0(sh(x)+cos(x))1/x. c) lim x→+∞ 1 x ln(ch(x)). Q2) Trouver un équivalent simple de f dans les cas suivants : a) sh(x)−th(x) en 0. b) ln(th(x)) en +∞. c) e2p x +2−2ex en 2. 2 Partie II : Comportement de f et f ′ en +∞ Dans cette partie, on pose I = ]0;+∞[. On considère une application f : I →R de classe C 1 sur I. Q3) Rappeler l’énoncé du théorème de l’égalité des accroissements ﬁnis. Q4) On suppose dans cette question que lim +∞f ′ = 0. On veut montrer que lim x→+∞ f (x) x = 0. On se ﬁxe ε > 0. a) Montrer qu’il existe x0 ∈I tel que ∀x ⩾x0, |f (x)−f (x0)| ⩽ε(x −x0). b) En déduire qu’il existe x1 ∈I tel que ∀x ⩾x1, | f (x) x | ⩽2ε. c) Conclure. d) Donner un exemple simple de fonction f de classe C 1 sur I telle que lim x→+∞ f (x) x = 0, et f ′ n’a pas de limite en +∞. Q5) On suppose dans cette question que lim +∞f ′ = ℓ∈R∗. a) Montrer que lim x→+∞ f (x) x = ℓ(on pourra poser g(x) = f (x)−ℓx). b) Déterminer lim +∞f (on distinguera les cas suivant le signe de ℓ). c) Donner un exemple simple de fonction f de classe C 1 sur I telle que lim x→+∞f ′(x) = 0, et f n’a pas de limite en +∞. Q6) On suppose dans cette question que lim +∞f ′ = +∞. On se ﬁxe un réel A. a) Montrer qu’il existe x0 ∈I tel que ∀x ⩾x0, f (x)−f (x0) ⩾A(x −x0). b) En déduire qu’il existe x1 ∈I tel que ∀x ⩾x1, f (x) x > A−1. c) En déduire la limite en +∞de la fonction x 7→f (x) x . d) Que dire de la limite en +∞de la fonction x 7→f (x) x lorsque lim +∞f ′ = −∞? Justiﬁer. e) Soit f (x) = sin(x2)+ x2, montrer que f est C 1 sur I, que lim x→+∞ f (x) x = +∞, mais que f ′ n’a pas de limite en +∞. Q7) Dans cette question on suppose que f ′ est bornée sur I. a) Montrer que f est lipschitzienne sur I. En déduire qu’elle est uniformément continue sur I. b) Soit g : I →R une fonction continue sur I, on suppose que g a une limite ﬁnie à droite en 0, et une limite ﬁnie en +∞. i) Pour x ∈]0; π 2 [ on pose h(x) = g(tan(x)), montrer que h se prolonge par continuité en 0 et en π 2 . ii) En déduire que g est bornée sur I. c) Soit α ∈[0;1[, on pose pour x ∈I, f (x) = xα ln(x + 1). Montrer que f est C 1 sur I et uniformément continue (on pourra étudier les limites de f ′ aux bornes de I). Q8) Dans cette question on suppose que f ′ est croissante et bornée sur I, et que f est également bornée sur I. a) Montrer que lim +∞f ′ = 0. b) Montrer f admet une limite ﬁnie en +∞. c) En étudiant l’exemple f : x 7→x −ln(x +1) sur I, montrer que les deux résultats précédents sont faux si f n’est pas supposée bornée. – FIN – 3 uploads/S4/ ds05-1920.pdf