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Picchione Serge 2016-2017 / AM_OS COURBES ET SURFACES DANS L’ESPACE Table des m

Picchione Serge 2016-2017 / AM_OS COURBES ET SURFACES DANS L’ESPACE Table des matières 4.1 Segment de droite dans l’espace 1 4.2 Coordonnées cylindriques et sphériques 2 4.3 Courbes paramétrées de l’espace 4 4.4 Introduction surfaces dans l’espace 12 4.5 Surfaces de révolution 16 4.6 Courbe sur une surface 23 4.7* Extrusion généralisée « Surfaces tubes » 27 4.8* Nœuds Gordiens 35 4.9 Corrections des exercices 39 Picchione Serge 2016-2017 / AM_OS P.S. / 2016-2017 1 Courbes et surfaces / AM_OS 4 Courbes et surfaces dans l’espace 3  4.1 Segment de droite dans l’espace Soit deux points de l’espace 1 2 3 A( a ;a ;a ) et 1 2 3 B(b ;b ;b ). Le point 3 P( x; y;z ) appartient au segment AB S    OP OA AB 0;1            1 2 3 1 1 2 2 3 3 ( x; y;z ) ( a ;a ;a ) (b a ;b a ;b a )        D’où les équations paramétriques :   1 1 1 2 2 2 3 3 3 x( ) a ( b a ) y( ) a ( b a ) 0;1 z( ) a ( b a )                           Exemple Soient A(1;2;3) et B( 1;0,4 )  alors le segment AB S est déterminé par :   x( ) 1 2 y( ) 2 2 0;1 z( ) 3                    Avec Geogebra : Courbe[1 - 2u, 2 - 2u, 3 + u, u, 0, 1] P O z x y A B    P.S. / 2016-2017 2 Courbes et surfaces / AM_OS 4.2 Coordonnées cylindriques et sphériques Définition On note :    x; y;z les coordonnées cartésiennes d'un point P de l'espace.    r; ;z  les coordonnées cylindriques d'un point P de l'espace.    R; ; les coordonnées sphériques d'un point P de l'espace. Remarques  L'origine 0 est la même pour les 3 systèmes de coordonnées.  L'angle  =0 coïncide avec la partie positive de l'axe Ox.  L'angle  =0 coïncide avec le plan des coordonnées XY.  r 0 , R 0 , z , 0 2 , 2 2               Relations entres les coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques 2 2 cylindriques cartésiennes cartésiennes cylindriques r x y x r cos( ) y y r sin( ) arctan ( l'angle est déterminéà près ) x z z z z sphériques cartésiennes cartésiennes sphériques x R cos( ) cos(                                       2 2 2 2 2 2 R x y z ) y y R cos( ) sin( ) arctan ( l'angle est déterminé à près ) x z R sin( ) z arcsin x y z                                                   Démonstration Trigonométrie dans le triangle rectangle et théorème de Pythagore. P 0 y z x r R   P.S. / 2016-2017 3 Courbes et surfaces / AM_OS Activité a) Décrire la forme de la courbe obtenue par la trajectoire du point P si : 1) R varie et ,  fixé. 4) r varie et , z fixé. 2)  varie et R,  fixé. 5)  varie et r, z fixé. 3)  varie et R,  fixé. 6) z varie et r,  fixé. b) Sur quelle surface se situe le point P si : 1) ,  varie et R fixé. 2)  , z varie et r fixé. P 0 y z x r R   P.S. / 2016-2017 4 Courbes et surfaces / AM_OS 4.3 Courbes paramétrées de l’espace Définition Une courbe paramétrée (ou chemin) dans 3 est une application de la forme :   3 C:[ a ;b] t x( t ); y( t );z( t ) C( t ) Avec a b ; t [ a;b] le paramètre(variable ) et x x( t ), y y(t) et z z(t) sont trois fonctions réelles .                Terminologie / notation     x x t , y y t et z z t    sont les équations paramétriques de C de paramètre t.            3 C a;b = x( t ); y(t);z(t) t a;b    L'ensemble     C a;b est l’image par l'application C de l'ensemble  a;b . Cet ensemble décrit une courbe dans l'espace muni d'un repère. Illustration Dans l’illustration ci dessus : C(a) et C(b) sont appelés les extrémités de C . Si C(a)= C(b) alors C est une courbe fermée. Remarques  Avec les équations paramétriques d'une courbe, la géométrie devient de la mécanique : Pour décrire le mouvement d’une particule par exemple, on peut à tout instant t définir sa position à l’aide d’un vecteur position OC( t )   qui est fonction du temps t :   OC( t ) x( t ); y( t );z( t )    (grandeur vectorielle)  La trajectoire d'un point P est l'ensemble de toutes les positions prises par P au cour du temps t. 0 y z x a t b      P.S. / 2016-2017 5 Courbes et surfaces / AM_OS Exemple Soit une courbeC définie par :     3 C : 0;2 t cos( 3t );sin( 3t );sin( 4t ) C( t )     On obtient la courbe fermée suivante avec Geogebra : Courbe[cos(3u), sin(3u), sin(4u), u, 0, k] P.S. / 2016-2017 6 Courbes et surfaces / AM_OS Exercice 1 Les cinq solides de Platon (polyèdres réguliers convexes) Forme Nom Faces Sommets Arêtes Tétraèdre 4 triangles équilatéraux 4 6 Cube 6 carrés 8 12 Octaèdre 8 triangles équilatéraux 6 12 Dodécaèdre 12 pentagones réguliers 20 30 Icosaèdre 20 triangles équilatéraux 12 30 Remarques : a) Euler, mathématicien suisse (1707-1783) établit la formule : F + S = A + 2 b) Il existe exactement cinq polyèdres réguliers convexes. P.S. / 2016-2017 7 Courbes et surfaces / AM_OS Enoncé Soit un tétraèdre dont les arêtes mesurent 2 . a) Déterminer les coordonnées cartésiennes des 4 sommets du tétraèdre. Indication : Pour déterminer les coordonnées des sommets d'un tétraèdre, on peut inscrire cette figure dans un cube ainsi que le montre le figure ci-dessous. b) Déterminer les équations paramétriques des 6 arêtes de ce tétraèdre. c) Représenter à l’aide de Geogebra le tétraèdre choisi.     P.S. / 2016-2017 8 Courbes et surfaces / AM_OS Exercice 2 Hélice circulaire (Cylindrical helix) hélice circulaire dextre hélice circulaire senestre Définition L’hélice circulaire peut être définie comme une hélice tracée sur un cylindre de révolution, ou une courbe qui devient une droite quand on développe le cylindre. L’hélice est dextre (ou droite) lorsqu'elle « monte » dans le sens trigonométrique et senestre (ou gauche) lorsque elle « monte » dans le sens des aiguilles d’une montre. Vocabulaire intrinsèque : - Rayon de l'hélice (rayon du cylindre) - Pas de l'hélice (distance entre deux spires consécutives). Les hélices circulaires dans la vie courante  On a remarqué au Brésil une espèce de chauve-souris qui s’élèvent invariablement suivant une trajectoire dont la forme est une hélice dextre.  Les plantes grimpantes s’enroulent suivant des hélices, soit dextres, comme la glycine de Chine, soit senestres, comme la glycine du Japon.  Un ressort. P.S. / 2016-2017 9 Courbes et surfaces / AM_OS  En architecture.  L'ADN s'enroule suivant une hélice dextre. Enoncé a) Déterminer les équations paramétriques d'une hélice dextre et senestre (rayon r , nombre de spires n , pas p). b) Représenter à l'aide de Geogebra, une hélice dextre et senestre. c) Animation avec Geogebra : compression et étirement d'un ressort. P.S. / 2016-2017 10 Courbes et surfaces / AM_OS 5 0 5 x 5 0 5 y 0 10 20 z Exercice 3 Représenter un morceau d’ADN du même type que ci-contre (deux hélices dextres et des segments de droites). Indication : Pour tracer les segments, utiliser la commande Séquence dans Geogebra. Exemple commande uploads/S4/ f1-courbes-surfaces-3d-16-17.pdf