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Antilles Guyane 2016. Enseignement spéciﬁque EXERCICE 3 (7 points) (commun à to

Antilles Guyane 2016. Enseignement spéciﬁque EXERCICE 3 (7 points) (commun à tous les candidats) Partie A On considère la fonction f déﬁnie pour tout réel x par f(x) = xe1−x2. 1) Calculer la limite de la fonction f en +∞. Indication : on pourra utiliser que pour tout réel x diﬀérent de 0, f(x) = e x × x2 ex2 . On admettra que la limite de la fonction f en −∞est égale à 0. 2) a) On admet que f est dérivable sur R et on note f ′ sa dérivée. Démontrer que pour tout réel x, f ′(x) = ! 1 −2x2" e1−x2. b) En déduire le tableau de variations de la fonction f. Partie B On considère la fonction g déﬁnie pour tout réel x par g(x) = e1−x. Sur le graphique ci-dessous, on a tracé dans un repère les courbes représentatives Cf et Cg respectivement des fonctions f et g. 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 −0, 5 −1 −1, 5 −2 −2, 5 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 −0, 5 −1 −1, 5 Cf Cg Le but de cette partie est d’étudier la position relative de ces deux courbes. 1) Après observation du graphique, quelle conjecture peut-on émettre ? 2) Justiﬁer que, pour tout réel x appartenant à ] −∞; 0], f(x) < g(x). 3) Dans cette question, on se place dans l’intervalle ]0 ; +∞[. On pose, pour tout réel x strictement positif, Φ(x) = ln x −x2 + x. a) Montrer que, pour tout réel x strictement positif, f(x) ⩽g(x) équivaut à Φ(x) ⩽0. On admet pour la suite que f(x) = g(x) équivaut à Φ(x) = 0. b) On admet que la fonction Φ est dérivable sur ]0 ; +∞[. Dresser le tableau de variation de la fonction Φ. (Les limites en 0 et +∞ne sont pas attendues.) http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés. c) En déduire que, pour tout réel x strictement positif, Φ(x) ⩽0. 4) a) La conjecture émise à la question 1. de la partie B est-elle valide ? b) Montrer que Cf et Cg ont un unique point commun, noté A. c) Montrer qu’en ce point A, ces deux courbes ont la même tangente. Partie C 1) Trouver une primitive F de la fonction f sur R. 2) En déduire la valeur de ! 1 0 " e1−x −xe1−x2# dx. 3) Interpréter graphiquement ce résultat. http ://www.maths-france.fr 2 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés. Antilles Guyane 2016. Enseignement spéciﬁque EXERCICE 3 : corrigé Partie A 1) Soit x un réel non nul. f(x) = xe1−x2 = x × e × e−x2 = x2 x × e × 1 ex2 = e x × x2 ex2 . Déjà, lim x→+∞ e x = 0. Ensuite, d’après un théorème de croissances comparées, lim x→+∞ ex2 x2 = lim X→+∞ eX X = +∞. Par passage à l’inverse, on obtient lim x→+∞ x2 ex2 = 0. En multipliant, on obtient ﬁnalement lim x→+∞f(x) = 0 × 0 = 0. lim x→+∞f(x) = 0. 2) a) Pour tout réel x, f ′(x) = 1 × e1−x2 + x × ! (−2x)e1−x2" = e1−x2 −2x2e1−x2 = # 1 −2x2$ e1−x2. b) Pour tout réel x, e1−x2 > 0 et donc pour tout réel x, f ′(x) est du signe de 1 −2x2 = −2 % x2 −1 2 & = −2 % x −1 √ 2 & % x + 1 √ 2 & . Le cours sur le signe d’un trinôme du second degré permet alors de dresser le tableau de variations de f : x −∞ −1 √ 2 1 √ 2 +∞ f ′(x) − 0 + 0 − 0 ' e/2 f − ' e/2 0 f % 1 √ 2 & = 1 √ 2 e1− ! 1 √ 2 "2 = e1/2 √ 2 = 1, 16 . . . et f % −1 √ 2 & = − (e 2 = −1, 16 . . . Partie B 1) Il semble que Cg soit au-dessus de Cf sur R et que Cf et Cg ait un point commun et un seul, à savoir leur point d’abscisse 1. 2) Soit x ∈] −∞, 0]. Puisque la fonction exponentielle est strictement positive sur R, on a f(x) ⩽0 et g(x) > 0. En particulier, f(x) < g(x). 3) a) Soit x > 0. f(x) ⩽g(x) ⇔xe1−x2 ⩽e1−x ⇔ln ! xe1−x2" ⩽ln # e1−x$ (car xe1−x2 > 0 et e1−x > 0) ⇔ln(x) + ln ! e1−x2" ⩽1 −x ⇔ln(x) + 1 −x2 ⩽1 −x ⇔ln(x) −x2 + x ⩽0 ⇔Φ(x) ⩽0. b) Pour tout réel x > 0, Φ′(x) = 1 x −2x + 1 = 1 + x(−2x + 1) x = −2x2 + x + 1 x . Pour tout réel x > 0, Φ′(x) est du signe de −2x2 + x + 1. Le discriminant de ce trinôme est ∆= 12 −4 × (−2) × 1 = 9. Le trinÃ´me −2x2 + x + 1 a deux racines distinctes à savoir x1 = −1 + √ 9 −2 × 2 = −1 2 et x1 = −1 − √ 9 −2 × 2 = 1. Le cours sur http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés. le signe d’un trinôme du second degré montre alors que la fonction Φ′ est strictement positive sur ]0, 1[, strictement négative sur ]1, +∞[ et s’annule en 1. La fonction Φ est donc strictement croissante sur ]0, 1] et strictement décroissante sur [1, +∞[. c) En particulier, la fonction Φ admet un maximum en 1 et ce maximum est Φ(1) = ln(1) −12 + 1 = 0. On en déduit que pour tout réel x > 0, Φ(x) ⩽Φ(1) ou encore Φ(x) ⩽0. 4) a) D’après la question 3)a), pour tout x > 0, on a f(x) ⩽g(x) et d’après la question 2), pour tout x ⩽0, on a f(x) ⩽g(x). Ainsi, Cf est au-dessous de Cg sur R et la conjecture de la question 1) de la partie B est donc valide. b) D’après le résultat admis par l’énoncé, f(x) = g(x) équivaut à Φ(x) = 0 ou encore x = 1. Les courbes Cf et Cg ont donc un point commun et un seul à savoir le point A de coordonnées (1, g(1)) ou encore (1, 1). c) On a xA = 1 et f (xA) = 1 = g (xA). D’autre part, f ′ (xA) = # 1 −2 × 12$ e1−12 = −1 et g′ (xA) = −e1−1 = −1. Ceci montre déjà que les courbes Cf et Cg ont le même tangente au point A. Une équation de cette tangente commune est y = −(x −1) + 1 ou encore y = −x + 2. Partie C 1) Pour tout réel x, f(x) = xe1−x2 = −1 2 × (−2x)e1−x2 = −1 2 × # 1 −x2$′ e1−x2 et donc, une primitive de f sur R est la fonction F déﬁnie par : pour tout réel x, F(x) = −1 2e1−x2. 2) ) 1 0 ! e1−x −xe1−x2" dx = * −e1−x + 1 2e1−x2+1 0 = % −e0 + 1 2e0 & − % −e1 + 1 2e1 & = e −1 2 . 3) Pour tout réel x de [0, 1], f(x) ⩽g(x). Donc, ) 1 0 ! e1−x −xe1−x2" dx est l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine du plan compris entre Cf et Cg d’une part, et les droites d’équations respectives x = 0 et x = 1 d’autre part. 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 −0, 5 −1 −1, 5 −2 −2, 5 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 −0, 5 −1 −1, 5 Cf Cg http ://www.maths-france.fr 2 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés. uploads/S4/ 2016-antilles-guyane-exo3.pdf