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Correction d’examen Baccalauréat session de Juin 2008 Section : Math Page 1 sur

Correction d’examen Baccalauréat session de Juin 2008 Section : Math Page 1 sur 5 Epreuve : Mathématiques Exercice n°1 A-CONTENU Limites-Equations differentielles-Probabilité B-REPONSES 1) Réponse - c - 2) Réponse - b - 3) Réponse - a - Exercice n°2 A-CONTENU -fonction logarithme néperien-Fonction réçiproque d’une fonction continue et strictement monotone- Exploitation d’un graphique-Traçage d’une courbe à partir d’une autre- Calcul intégral-Calcul d’aire B-SOLUTION 1) a- D’après la courbe la fonction f est continue strictement décroissante sur   1, e e  donc réalise une bijection de   1, e e  sur       1, 2,2 f e e   . b- Voir courbe ci-jointe. 2) a-  1 1 1 ln . ln 1 e e a x dx x x x      . b-   1 1 1 ln e n n a x dx   . On intègre par parties, Session PRINCIPALE 2008 Section : Math Epreuve : Mathématiques Durée : 4 heures Coefficient : 4 Correction d’examen Baccalauréat session de Juin 2008 Section : Math Page 2 sur 5 Epreuve : Mathématiques on pose :         1 1 ln ' ln ' 1 n n n x u x x u x x v x v x x              Donc :       1 1 1 1 ln 1 ln e e n n n a x x n x dx           Ainsi :   1 1 n n a e n a    . c- Comme 2 1 2 2 a e a e     donc 3 2 3 3 6 a e a e e     ainsi 3 6 2 a e   . 3) a-        3 3 3 1 1 1 1 1 . ln 3ln ln 3 ln . 3 e e e e f x dx x x dx x dx x dx a a           donc  1 . 6 2 3 3 2 e f x dx e e       . b- l’aire demandée est égale à la différence entre l’aire du rectangle de dimensions e et 2 et le réel (  1 e f x dx   ) Ainsi  1 2 e e f x dx  A   2 3 2 e e    3 ua Exercice n°3 A-CONTENU Congruence –Divisibilité-Résolution ,dans ZxZ ,d’une équation du type ax+by=c B-SOLUTION 1)   1, 1  est une solution particulière de  : 3 8 5 E x y   . Donc     3 1 8 1 x y    or :   3 8 1 8 / 3 1 x       donc d’après le lemme de Gauss   8 / 1 x  par suite Il existe un entier k tel que   8 1 x k k   ¢ .Remplaçons x par sa valeur on obtient     8 1 3 8 y k k   ¢ par suite   3 1 y k k   ¢ . Pour la réciproque, il suffit de vérifier que tout entier k le couple ( , ) 8 1 3 1 k k   est solution de l’équation   E . D’où     8 1,3 1 ; S k k k     ¢ ¢ ¢ . 2) a- On a :  3 2 8 7 x n y n     donc 3 8 2 7 5 x y n n       ( ) ( ) d’où   , x y est solution de   E b- si n est solution  S alors     3 2 8 7 n x x n y y         ¢ ¢ donc   , x y est solution de   E d’où    8 1 3 1 x k k y k      ¢ et par suite   3 8 1 2 24 1 n k k      ainsi   1 mod 24 n  donc   23 mod 24 n  . Réciproquement ,soit n un entier vérifiant   23 mod 24 n  donc   24 23 n K K   ¢ d’où Correction d’examen Baccalauréat session de Juin 2008 Section : Math Page 3 sur 5 Epreuve : Mathématiques       3 8 7 2 8 3 2 7 n K K n K         ¢ ainsi     3 2 8 ' 7 n k k n k k         ¢ ¢ par suite n est solution de      2 mod3 7 mod8 n S n    3) a-     2 2 2 1 mod3 7 1 mod8      donc      2 2 2 1 mod3 7 1 mod8 k k k       ¥ b- ●  1991 3 663 2 1991 8 248 7     ainsi     1991 2 mod3 1991 7 mod8      par suite 1991 est solution de  S . ● Comme 1991 est solution de  S donc   1991 23 mod 24  ou encore   1991 1 mod 24  Donc       2008 2008 1991 1 mod24  d’où     2008 1991 1 mod 24  on en déduit alors que   2008 1991 1  est divisible par 24. Exercice n°4 A-CONTENU Similitude directe-Similitude indirecte- Composée de similitudes –Symétrie axiale B-SOLUTION 1) ● Le rapport de f est : 2 2 DC OB AO OB   ●L’angle de f est      π , , 2π 2 AO DC OA OB   uuu r uuu r uur uu u r . 2) a- ( ) ( ) ( ) IC AD car IO  est la médiatrice de AB donc dans le triangle ACD , la droite   IC porte la hauteur issue de C .     AO CD  donc dans le triangle ACD , la droite   AO porte la hauteur issue de A . donc      IC AO O   est l’orthocentre du triangle ACD . b- ●     f OJ est la perpendiculaire à   OJ passant par   f O C  qui n’est autre que la droite   AC . ●     f AJ est la perpendiculaire à   AJ passant par  f A D  qui n’est autre que la droite   DJ . ● On a              f OJ f AJ AC DJ J     , comme     J OJ AJ   alors             f J f OJ f AJ J    donc J est invariant par f ,qui est de rapport 1 d’où J est l’unique point fixe par f et par suite J est le centre de f. 3) a- ● 2 2 ID IB IA IB   donc g est de rapport 2. ● L’axe de g porte la bissectrice intérieur de   , IA ID u u r uu r qui n’est autre que   IC . ● Comme la forme réduite de g est         ,2 ,2 IC IC I I g h S S h   o o donc           ,2 ,2 IC I I g O h S O h O C    o car 2 IC IO  uu r uu r . B O A I D C J I' J' Correction d’examen Baccalauréat session de Juin 2008 Section : Math Page 4 sur 5 Epreuve : Mathématiques b- ●     1 g f C g O C    o par suite   1 uploads/S4/ m-principale-2008-corr 1 .pdf