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A. P. M. E. P. [ Baccalauréat S Métropole–La Réunion 20 juin 2016 \ EXERCICE 1

A. P. M. E. P. [ Baccalauréat S Métropole–La Réunion 20 juin 2016 \ EXERCICE 1 6 POINTS Commun à tous les candidats Partie A Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaînes de fabrication sont utilisées. La chaîne A produit 40 % des composants et la chaîne B produit le reste. Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vi- tesse prévue par le constructeur. En sortie de chaîne A, 20 % des composants présentent ce défaut alors qu’en sortie de chaîne B, ils ne sont que 5 %. On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. On note : A l’évènement « le composant provient de la chaîne A » B l’évènement « le composant provient de la chaîne B » S l’évènement « le composant est sans défaut » 1. Montrer que la probabilité de l’évènement S est P(S) = 0,89. 2. Sachant que le composant ne présente pas de défaut, déterminer la probabilité qu’il provienne de la chaîne A. On donnera le résultat à 10−2 près. Partie B Des améliorations apportées à la chaîne A ont eu pour effet d’augmenter la proportion p de compo- sants sans défaut. Aﬁn d’estimer cette proportion, on prélève au hasard un échantillon de 400 composants parmi ceux fabriqués par la chaîne A. Dans cet échantillon, la fréquence observée de composants sans défaut est de 0,92. 1. Déterminer un intervalle de conﬁance de la proportion p au niveau de conﬁance de 95 %. 2. Quelle devrait être la taille minimum de l’échantillon pour qu’un tel intervalle de conﬁance ait une amplitude maximum de 0,02? Partie C La durée de vie, en années, d’un composant électronique fabriqué dans cette usine est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ (où λ est un nombre réel strictement positif). On note f la fonction densité associée à la variable aléatoire T . On rappelle que : — pour tout nombre réel x ⩾0, f (x) = λe−λx. — pour tout nombre réel a ⩾0, P(T ⩽a) = Za 0 f (x)dx. 1. La courbe représentative C de la fonction f est donnée ci-dessous. Baccalauréat S A. P. M. E. P. x y a C a. Interpréter graphiquement P(T ⩽a) où a > 0. b. Montrer que pour tout nombre réel t ⩾0 : P(T ⩽t) = 1−e−λt. c. En déduire que lim t→+∞P(T ⩽t) = 1. 2. On suppose que P(T ⩽7) = 0,5. Déterminer λ à 10−3 près. 3. Dans cette question on prend λ = 0,099 et on arrondit les résultats des probabilités au cen- tième. a. On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. Déterminer la probabilité que ce composant fonctionne au moins 5 ans. b. On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de 2 ans. Déterminer la probabilité que ce composant ait une durée de vie supérieure à 7 ans. c. Donner l’espérance mathématique E(T ) de la variable aléatoire T à l’unité près. Interpréter ce résultat. EXERCICE 2 4 POINTS Commun à tous les candidats Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé ³ O ; − → ı , − → , − → k ´ on donne les points : A(1 ; 2 ; 3),B(3 ; 0 ; 1),C(−1 ; 0 ; 1),D(2 ; 1 ; −1),E(−1 ; −2 ; 3)et F(−2 ; −3 ; 4). Pour chaque afﬁrmation, dire si elle est vraie ou fausse en justiﬁant votre réponse. Une réponse non justiﬁée ne sera pas prise en compte. Afﬁrmation 1 : Les trois points A, B, et C sont alignés. Afﬁrmation 2 : Le vecteur − → n (0 ; 1 ; −1) est un vecteur normal au plan (ABC). Afﬁrmation 3 : La droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants et leur point d’intersection est le milieu du segment [BC]. Afﬁrmation 4 : Les droites (AB) et (CD) sont sécantes. EXERCICE 3 5 POINTS Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité 20 juin 2016 2 Métropole–La Réunion Baccalauréat S A. P. M. E. P. Partie A Soit f la fonction déﬁnie sur R par f (x) = x −ln ¡ x2 +1 ¢ . 1. Résoudre dans R l’équation : f (x) = x. 2. Justiﬁer tous les éléments du tableau de variations ci-dessous à l’exception de la limite de la fonction f en +∞que l’on admet. x −∞ 1 +∞ f ′(x) + 0 + −∞ +∞ f (x) 3. Montrer que, pour tout réel x appartenant à [0; 1], f (x) appartient à [0; 1]. 4. On considère l’algorithme suivant : Variables N et A des entiers naturels; Entrée Saisir la valeur de A Traitement N prend la valeur 0 Tant que N −ln ¡ N 2 +1 ¢ < A N prend la valeur N +1 Fin tant que Sortie Afﬁcher N a. Que fait cet algorithme? b. Déterminer la valeur N fournie par l’algorithme lorsque la valeur saisie pour A est 100. Partie B Soit (un) la suite déﬁnie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = un −ln ¡ u2 n +1 ¢ . 1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un appartient à [0; 1]. 2. Étudier les variations de la suite (un). 3. Montrer que la suite (un) est convergente. 4. On note ℓsa limite, et on admet que ℓvériﬁe l’égalité f (ℓ) = ℓ. En déduire la valeur de ℓ. EXERCICE 3 5 POINTS Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Pour tout couple d’entiers relatifs non nuls (a, b), on note pgcd(a, b) le plus grand diviseur commun de a et b. Le plan est muni d’un repère ³ O ; − → ı , − →  ´ . 1. Exemple. Soit ∆1 la droite d’équation y = 5 4 x −2 3. a. Montrer que si (x, y) est un couple d’entiers relatifs alors l’entier 15x −12y est divisible par 3. 20 juin 2016 3 Métropole–La Réunion Baccalauréat S A. P. M. E. P. b. Existe-il au moins un point de la droite ∆1 dont les coordonnées sont deux entiers relatifs? Justiﬁer. Généralisation On considère désormais une droite ∆d’équation (E) : y = m n x −p q où m,n,p et q sont des entiers relatifs non nuls tels que pgcd(m, n) = pgcd(p, q) = 1. Ainsi, les coefﬁcients de l’équation (E) sont des fractions irréductibles et on dit que ∆est une droite rationnelle. Le but de l’exercice est de déterminer une condition nécessaire et sufﬁsante sur m,n,p et q pour qu’une droite rationnelle ∆comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs. 2. On suppose ici que la droite ∆comporte un point de coordonnées ¡ x0, y0 ¢ où x0 et y0 sont des entiers relatifs. a. En remarquant que le nombre ny0 −mx0 est un entier relatif, démontrer que q divise le produit np. b. En déduire que q divise n. 3. Réciproquement, on suppose que q divise n, et on souhaite trouver un couple ¡ x0, y0 ¢ d’en- tiers relatifs tels que y0 = m n x0 −p q . a. On pose n = qr, où r est un entier relatif non nul. Démontrer qu’on peut trouver deux entiers relatifs u et v tels que qru −mv = 1. b. En déduire qu’il existe un couple ¡ x0, y0 ¢ d’entiers relatifs tels que y0 = m n x0 −p q . 4. Soit ∆la droite d’équation y = 3 8 x −7 4. Cette droite possède-t-elle un point dont les coordon- nées sont des entiers relatifs? Justiﬁer. 5. On donne l’algorithme suivant : Variables : M,N,P,Q : entiers relatifs non nuls, tels que pgcd(M, N) = pgcd(P, Q) = 1 X : entier naturel Entrées : Saisir les valeurs de M,N,P,Q Traitement et sorties : Si Q divise N alors X prend la valeur 0 Tant que µ M N X −P Q n’est pas entier ¶ et µ −M N X −P Q n’est pas entier ¶ faire X prend la valeur X +1 Fin tant que Si M N X −P Q est entier alors Afﬁcher X , M N X −P Q Sinon Afﬁcher −X ,−M N X −P Q Fin Si Sinon Afﬁcher « Pas de solution » Fin Si 20 juin 2016 4 Métropole–La Réunion Baccalauréat S A. P. M. E. P. a. Justiﬁer que cet algorithme se termine pour toute entrée de M,N,P,Q, entiers relatifs non nuls tels que pgcd(M, N) = pgcd(P, Q) = 1. b. Que permet-il d’obtenir? 20 juin 2016 5 Métropole–La Réunion Baccalauréat S A. P. M. E. P. EXERCICE 4 5 POINTS Commun à tous les candidats Lors d’un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point E (voir ﬁgure ci-contre) situé à l’extérieur du segment [AB]. La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point T que uploads/S4/ metropole-s-20-juin-2016.pdf